gọi 4 số tự nhiên liên tiếp lần lượt là : \(n;\left(n+1\right);\left(\cdot n+2\right)\left(n+3\right)\)

ta có :

\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)

\(=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\) (1)

đặt \(n^2+3n=t\) \(\left(t\in N\right)\) thì (1) = \(t\left(t+2\right)+1\)

                                                    \(=t^2+2t+1\)

                                       \(=\left(t+1\right)=\left(n^2+3n+1\right)\) 

\(\Rightarrow dpcm\)

Gọi các số tự nhiên đó lần lượt là x , x+1 , x+2 , x+3 (\(x\in N^{\text{*}}\) )

Xét \(A=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1=\left[x\left(x+3\right)\right].\left[\left(x+1\right)\left(x+2\right)\right]+1\)

\(=\left(x^2+3x\right).\left(x^2+3x+2\right)+1=\left(x^2+3x\right).\left[\left(x^2+3x\right)+2\right]+1\)

\(=\left(x^2+3x\right)^2+2.\left(x^2+3x\right)+1=\left(x^2+3x+1\right)^2\)

=> A là bình phương của đa thức 3 hạng tử

Có: \(\left(x^2+3x+1\right)^2-1=\left(x^2+3x\right)\left(x^2+3x+2\right)=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right).\)

Ngược lại: 

\(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1=\left(x^2+3x+1\right)^2-1+1=\left(x^2+3x+1\right)^2\)là scp

Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là a,a+1,a+2,a+3

Đặt A =\(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)+1=a\left(a+3\right)\left(a+1\right)\left(a+2\right)+1=\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)+1\)

Đặt a²+3a=t

=>\(A=t\left(t+2\right)+1=t^2+2t+1=\left(t+1\right)^2=\left(a^2+3a+1\right)^2\)

Vậy...

Giả sử bốn số tự nhiên liên tiếp là: \(a-1;a;a+1;a+2\)\(\left(a\inℕ^∗\right)\)

Tích của bốn số đó cộng thêm 1 là: \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+1\)\(=\left(a-1\right)\left(a+2\right)a\left(a+1\right)+1\)\(=\left(a^2+a-2\right)\left(a^2+a\right)+1\)

Đặt \(a^2+a=x\)\(\Rightarrow\left(a^2+a-2\right)\left(a^2+a\right)+1=x\left(x-2\right)+1=x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2\)là số chính phương

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó là : \(a,a+1,a+2,a+3\left(a\inℕ^∗\right)\)

Ta có :

\(a.\left(a+1\right).\left(a+2\right).\left(a+3\right)+1\)

\(=\left[a.\left(a+3\right)\right].\left[\left(a+1\right)\left(a+2\right)\right]+1\)

\(=\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)+1\)

\(=\left(a^2+3a\right)^2+2.\left(a^2+3a\right)+1\)

\(=\left(a^2+3a+1\right)^2\) là một số chính phương

\(\Rightarrowđpcm\)

Gọi 4 số liên tiếp là a ; a + 1 ; a + 2 ; a + 3 

\(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)+1\) 

\(=a\left(a+3\right)\left(a+1\right)\left(a+2\right)+1\) 

\(=\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)+1\) 

Đặt \(t=a^2+3a\) 

\(t\left(t+2\right)+1\) 

\(=t^2+2t+1\) 

\(=\left(t+1\right)^2\) 

\(=\left(a^2+3a+1\right)^2\) 

Vậy tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là số chính phương 

2. 

Gọi x;x+1;x+2;x+3 là 4 số tự nhiên liên tiếp ( x\(\in\) N)

 Ta có : x (x+1) (x+2 ) (x+3 ) +1 

 =(  x² + 3x ) (x² + 2x + x +2 )  +1 

= (  x² + 3x ) (x² +3x + 2 ) +1  (*)

Đặt t = x² + 3x  thì  (* ) =  t ( t+2 ) + 1=  t² + 2t +1  =  (t+1)²  = (x² + 3x + 1 )²

=>  x (x+1) (x+2 ) (x+3 ) +1  là số chính phương 

hay tích 4 số tự nhiên liên tiếp  cộng  1 là số chính phương 

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là : k;k+1;k+2;k+3

Có k(k+1)(k+2)(k+3)+1

=k(k+3)(k+1)(k+2)+1

=(k²+3k)(k²+3k+2)+1

Đặt k²+3k=A

=A(A+2)+1

=A²+2A+1

=(A+1)²

ĐPCM