ĐK: \(x\ne\pm m\)

\(\frac{m}{x-m}+\frac{3m^2-4m+3}{m^2-x^2}=\frac{1}{x+m}\)

\(\Leftrightarrow\frac{m\left(x+m\right)}{x^2-m^2}-\frac{3m^2-4m+3}{x^2-m^2}-\frac{x-m}{x^2-m^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{mx+m^2-3m^2+4m-3-x+m}{x^2-m^2}=0\)

\(\Leftrightarrow mx+m^2-3m^2+4m-3-x+m=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)x-2m^2+5m-3=0\)

Với \(m-1=0\Leftrightarrow m=1\), khi đó \(-2m^2+5m-3=0\)

Vậy thì phương trình có vô số nghiệm khác \(\pm1.\)

Với \(m-1\ne0\Leftrightarrow m\ne1\)

Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất \(x=\frac{2m^2-5m+3}{m-1}=2m-3\)

KL:

Với \(m=\pm1,\) phương trình vô số nghiệm khác \(\pm1.\)

Với \(m\ne\pm1,\) phương trình có một nghiệm duy nhất \(x=2m-3\)

điều kiện :  \(\begin{cases}x\ne1\\x\ne2\end{cases}\)

phương trình:  \(\Leftrightarrow\left(x+m\right)\left(x-2\right)=\left(x+3\right)\left(x-1\right)\)

                      \(\Leftrightarrow x^2+\left(m-2\right)x-2m=x^2+2x-3\)

                      \(\Leftrightarrow\left(m-4\right)x=2m-3\)

+ m = 4 phương trình vô nghiệm

+ m\(\ne\) 4 phương trình  \(\Leftrightarrow x=\frac{2m-3}{m-4}\)

do điều kiện : \(\begin{cases}x\ne1\\x\ne2\end{cases}\)nên  \(\begin{cases}\frac{2m-3}{m+1}\ne1\\\frac{2m-3}{m-4}\ne2\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\begin{cases}2m-3\ne m-4\\2m-3\ne2m-8\end{cases}\)

                                                           \(\Leftrightarrow m\ne-1\)

vậy:         + \(m\in\left\{4;-1\right\}\): phương trình vô nghiệm

               + \(m\in R\text{​ /}\left\{4;-1\right\}\)      :phương trình có nghiệm duy nhất \(x=\frac{2m-3}{m-4}\)

Tớ làm nhầm rồi

+) x = 1 => pt vô nghĩa

+) x \(\ne\)0 => pt trờ thành : x² + 2x - m = 0

Có: \(\Delta=\left(-2\right)^2-4.\left(-m\right)=4+4m\)

Với \(\Delta=0\Rightarrow m=-1\) (pt có nghiệm kép) : x = -2

Với \(\Delta>0\Rightarrow m>-1\) (pt có 2 nghiệm phân biệt): \(x=\frac{-2+\sqrt{4+4m}}{2};x=\frac{-2-\sqrt{4+4m}}{2}\)

Với \(\Delta<0\Rightarrow m<-1\) (pt vô nghiệm) : \(x\in\phi\)

Vậy pt vô nghĩa khi x = 1

       pt có nghĩa khi x khác 1

        - có nghiệm kép: m = -1

        - có 2 nghiệm phân biệt: m > -1

        - vô nghiệm: m < -1

+) m = 1 => pt k có nghĩa

+) x\(\ne1\) => pt => x² + 2x - m = 0 

Có: \(\Delta'=1^2-\left(-m\right)=1+m\)

Với \(\Delta=0\Rightarrow1+m=0\Rightarrow m=-1\) (pt có nghiệm kép): x = \(\frac{-2}{1}=-2\)

Với \(\Delta>0\Rightarrow m>-1\) (pt có 2 nghiệm phân biệt): \(x=\frac{-2+\sqrt{m+1}}{2};x=\frac{-2-\sqrt{m+1}}{2}\)

Với \(\Delta<0\Rightarrow m<-1\) (pt vô nghiệm) : x \(\in\phi\)

Vậy có nghiệm kép khi m = -1

        có 2 nghiệm phân biệt khi m > -1

        vô nghiệm khi m < -1

Điều kiện \(x-1\ne0\) hay \(x\ne1\) Với điều kiện đó, ta có

\(\frac{x^2+2x-m}{x-1}=0\Leftrightarrow x^2+2x-m=0\)   (1)

Phương trình bậc hai (1) có \(\Delta'=1+m\)  Xét các trường hợp sau :

- Nếu \(\Delta'<0\)

hay \(m<-1\) thì phương trình (1) vô nghiệm

- Nếu \(\Delta'\ge0\)

hay \(m\ge-1\) thì phương trình (1) có hai nghiệm  \(x_{1;2}=-1\pm\sqrt{1+m}\)

Nếu một trong hai nghiệm đó bằng 1, thì ta cso \(1^2+2.1-m=0\) hay \(m=3\)

Khi đó (1) còn có nghiệm \(x=-3\) thỏa mãn điều kiện \(x\ne1\)

Nên ta có kết luận 

* Khi \(m<-1\) phương trình vô nghiệm

* Khi \(m=3\) phương trình có 1 nghiệm \(x=-3\)

* Khi \(m\ge-1;m\ne3\) phương trình có hai nghiệm \(x=-1\pm\sqrt{1=m}\)