a: AM+MC=AC

NA+NB=AB

mà AB=AC; AM=AN

nên MC=NB

b: Xét ΔNBC và ΔMCB có

NB=MC

góc NBC=góc MCB

BC chung

=>ΔNBC=ΔMCB

=>góc OBC=góc OCB

=>ΔOBC cân tại O

Bài 1 : 

Xét \(\Delta ABC\)có AB = AC (gt)

=> \(\Delta ABC\)cân tại A

=> \(\widehat{B}=\widehat{C}\)

MÀ \(\widehat{C}=\)70

=> \(\widehat{B}=\)70

Xét \(\Delta ABC\)có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)

=>                       \(\widehat{A}+70^0+70^o=180^o\)

=>                     \(\widehat{A}=180^0-140^o=40^0\)

Vậy \(\widehat{A}=40^0;\widehat{B}=70^0\)

a) Xét ΔABN và ΔACM có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAN}\) chung

AN=AM(gt)

Do đó: ΔABN=ΔACM(c-g-c)

Suy ra: BN=CM(hai cạnh tương ứng)

b) Xét ΔAHB và ΔAHC có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AH chung

HB=HC(H là trung điểm của BC)

Do đó: ΔAHB=ΔAHC(c-c-c)

Suy ra: \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

hay AH⊥BC(đpcm)

c) Ta có: AH⊥BC(cmt)

mà H là trung điểm của BC(gt)

nên AH là đường trung trực của BC

⇔EH là đường trung trực của BC

⇔EB=EC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)

Xét ΔEBC có EB=EC(cmt)

nên ΔEBC cân tại E(Định nghĩa tam giác cân)

a) ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác => MN // BC

Tứ giác MNCB có MN // BC nên là hình thang

b) Xét ∆EQN và ∆KQC có:

     ^ENQ = ^KCQ (BN//CK, so le trong)

     QN = QC (gt)

     ^EQN = ^KQC (đối đỉnh)

Do đó ∆EQN = ∆KQC (g.c.g)

=> EN = KC ( hai cạnh tương ứng)                  (1)

∆NBC có Q là trung điểm của NC và QE // BC nên E là trung điểm của BN => EN = BE              (2)

Từ (1) và (2) suy ra KC = BE

Tứ giác EKCB có KC = BE và KC // BE nên là hình bình hành => EK = BC (đpcm)

c) EF = EQ - FQ = 1/₂BC - 1/₂MN = 1/₂BC - 1/₄BC = 1/₄BC (đpcm)

d) Gọi J là trung điểm của BC 

Ta có EJ là đường trung bình của ∆NBC nên EJ // NC mà FI⊥NC nên FI⊥EJ

Tương tự suy ra EI⊥FJ suy ra I là trực tâm của ∆EFJ => JI⊥EF

Mà dễ thấy EF // BC nên IJ⊥BC

∆BIC có IJ vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên là tam giác cân (đpcm)

a) Do M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

=> MN //BC

Tứ giác MNCB có MNBC nên MNCB là hình thang.

b) Xét tứ giác EKCB có EK//BC, BE//CK

=> EKCB là hình bình hành

=> EK = BC (đpcm)

a: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó:MN là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: MN//BC và \(MN=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{16}{2}=8\left(cm\right)\)(1)

hay BMNC là hình thang

b: Xét ΔOBC có 

I là trung điểm của OB

K là trung điểm của OC

Do đó: IK là đường trung bình của ΔOBC

Suy ra: IK//BC và \(IK=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra MN//IK và MN=IK

hay MNKI là hình bình hành

bài 3

Gọi giao điểm của EM với AC là K' ( K' \(\in\)AC )

Ta sẽ chứng minh K' \(\equiv\)K 

Thật vậy, gọi giao điểm AC và MN là O ; K'N cắt DC tại I 

dễ thấy O là trung điểm MN

do MN // EI \(\Rightarrow\frac{MO}{EC}=\frac{K'O}{K'C}=\frac{ON}{CI}\)\(\Rightarrow EC=CI\)

\(\Delta NEI\)có NC là đường cao vừa là trung tuyến nên cân tại N

\(\Rightarrow\)NC là đường phân giác của \(\widehat{ENI}\)

Mà \(\widehat{K'NE}+\widehat{ENI}=180^o\) có \(NM\perp NC\)nên NM là  đường phân giác \(\widehat{K'NE}\)( 1 )

mặt khác : NM là đường phân giác \(\widehat{KNE}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(K'\equiv K\)hay A,K,C thẳng hàng

Trên tia đối tia HC lấy D sao cho HD = HC

Tứ giác DECF có DH = HC ; EH = HF nên là hình bình hành

\(\Rightarrow\)DE // CF 

\(\Rightarrow\)DE \(\perp\)CH ; BE \(\perp\)DH

\(\Rightarrow\)E là trực tâm tam giác DBH \(\Rightarrow HE\perp BD\)

Xét \(\Delta DBC\)có DH = HC ; BM = MC nên MH là đường trung bình 

\(\Rightarrow\)MH // BD

\(\Rightarrow\)MH \(\perp EF\)

bài 5 :

gọi L là giao điểm của CI và NK

từ \(S_{ANI}=S_{IJK}\) \(\Rightarrow S_{ANI}+S_{AIJ}=S_{IJK}+S_{AIJ}\Rightarrow S_{NAJ}=S_{KAJ}\)

Ta nhận thấy \(\Delta NAJ\)và \(\Delta KAJ\)có chung cạnh AJ nên khoảng cách từ N và K tới AJ bằng nhau 

\(\Rightarrow NK//AJ\)

xét hình thang AJKN có C là giao điểm của AN và JK, I là giao điểm của AK và JN 

theo bổ đề hình thang, CI cắt NK tại trung điểm của NK hay L là trung điểm của NK

Suy ra khoảng cách từ N đến CI bằng khoảng cách từ K đến CI ( cái này bạn tự c/m bằng cách hạ đường cao xuống xong xét tam giác )

\(\Rightarrow S_{CIN}=S_{CIK}\) 

Mà \(S_{AIN}=S_{CKM}\)\(\Rightarrow S_{CIM}=S_{CIA}\Rightarrow AI=IM\) 

\(\Rightarrow S_{BIA}=S_{BIM}\)

\(\Leftrightarrow S_{BPJ}+S_{APJI}=S_{IJK}+S_{BJKM}\Leftrightarrow S_{APJI}=S_{BJKM}\)

tương tự : ....

xong rồi suy ra 3 tam giác bằng nhau