áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau,ta có:

a/b = b/c = c/d = d/a => a+b+c+d/b+c+d+a = 1

khi đó : a/b =1 =>a=b ;b/c =1 => b=c ;c/d =1 =>c=d ;d/a =1 =>d=a

=>a=b=c=d

=> \(\dfrac{a+b+c+d}{a-b+c-d}=\dfrac{a+b-c-d}{a-b-c+d}\)

=> \(\dfrac{\left(a+b+c+d\right)+\left(a+b-c-d\right)}{\left(a-b+c-d\right)+\left(a-b-c+d\right)}=\dfrac{\left(a+b+c+d-\left(a+b-c-d\right)\right)}{\left(a-b+c-d\right)-\left(a-b-c+d\right)}\)

=> \(\dfrac{2a+2b}{2a-2b}=\dfrac{2c+2d}{2c-2d}\)

=>\(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}\)

=> (a+b)(c-d) = (a-b)(c+d)

=> ac-ad+bc-bd = ac+ac-bc-bd

=>bc-ad = ad-bc

=> bc-ad-ad+bc = 0

=>2(bc-ad) = 0

=> bc- ad = 0

=> bc = ad

=>\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)

Ta có: \(\frac{\left(a^2+b^2\right)}{\left(c^2+d^2\right)}=\frac{ab}{cd}.\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2\right).cd=ab.\left(c^2+d^2\right)\)

\(\Rightarrow a^2cd+b^2cd=abc^2+abd^2\)

\(\Rightarrow a^2cd+b^2cd-abc^2-abd^2=0\)

\(\Rightarrow\left(a^2cd-abc^2\right)-\left(abd^2+b^2cd\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ac.\left(ad-bc\right)-bd.\left(ad-bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right).\left(ac-bd\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}ad-bc=0\\ac-bd=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}ad=bc\\ac=bd\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\\frac{a}{b}=\frac{d}{c}\end{matrix}\right.\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!

Bài này mk lm ở lớp hc thêm nhưng chưa đc cô chữa nên cx ko có chắc 

ADTC dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\frac{a}{3b}=\frac{b}{3c}=\frac{c}{3d}=\frac{d}{3a}=\frac{a+b+c+d}{3a+3b+3c+3d}=\frac{a+b+c+d}{3\left(a+b+c+d\right)}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{3}.3b=b\left(1\right)\\b=\frac{1}{3}.3c=c\left(2\right)\\c=\frac{1}{3}.3d=d\left(3\right)\end{cases}}\)

Từ (1);(2);(3) \(\Rightarrowđpcm\)

Ta có : a+b/b+c = c+d/d+a  

=> (a+b)/(c+d)= (b+c)/(d+a)  

=> (a+b)/(c+d)+1=(b+c)/(d+a)+1  

hay: (a+b+c+d)/(c+d)=(b+c+d+a)/(d+a)

 - Nếu a+b+c+d khác 0 thì : c+d=d+a => c=a  

- Nếu a+b+c+d = 0 (điều phải chứng minh)