Ta có : \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4\ge3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)(1) . Đặt \(x=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)

\(\Rightarrow\left|x\right|=\left|\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right|=\left|\frac{a}{b}\right|+\left|\frac{b}{a}\right|\ge2\) \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x\ge2\\x\le-2\end{cases}}\)

bpt (1) \(\Leftrightarrow\left(x^2-2\right)+4\ge3x\Leftrightarrow x^2-3x+2\ge0\)

Xét bất phương trình sau : \(y^2-3y+2\ge0\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(y-2\right)\ge0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y\ge2\\y\le1\end{cases}}\)

Từ \(\orbr{\begin{cases}x\ge2\\x\le-2\end{cases}}\) suy ra x nằm trong miền nghiệm của bất  phương trình đang xét , vậy x phải  thỏa mãn  \(y^2-3y+2\ge0\), tức là \(x^2-3x+2\ge0\)đúng.

Suy ra (1) đúng. Vậy ta có đpcm 

+TH1: a, b trái dấu \(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le0\)

\(\Rightarrow VT>0\ge VP\), bất đẳng thức luôn đúng

+TH2: a, b cùng dấu \(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\left|\frac{a}{b}\right|+\left|\frac{b}{a}\right|\ge2\sqrt{\left|\frac{a}{b}\right|.\left|\frac{b}{a}\right|}=2\)

bđt \(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2+2\ge3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)

Đặt \(t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Cần chứng minh \(t^2+2\ge3t\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t-2\right)\ge0\text{ }\left(\text{đúng }\forall t\ge2\right)\)

Bạn tham khảo:

Câu hỏi của tran duc huy - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

bạn áp dụng dãy tỉ số bằng nhau là xong

1) \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}\)

-->\(\frac{a}{b}=\frac{a-c}{b-d}\left(đpcm\right)\)

2) ta có \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

đặt a=kb và c=kd

\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{kb+b}{kb-b}=\frac{b\left(k+1\right)}{b\left(k-1\right)}=\frac{k+1}{k-1}\left(1\right)\)

\(\frac{c+d}{c-d}=\frac{kd+d}{kd-d}=\frac{d\left(k+1\right)}{d\left(k-1\right)}=\frac{k+1}{k-1}\left(2\right)\)

từ (1) và (2) --> \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\left(đpcm\right)\)

1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)

\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\)  (1) 

áp dụng (x² +y² +z²)(m²+n²+p²) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)

(2a²bc +b²c² + 2b²ac+a²c² + 2c²ab+a²b²). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\)   <=> (ab+bc+ca)². VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\)  ( vậy (1) đúng)

dấu '=' khi a=b=c

4b, \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}=1-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+1-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+1-\frac{ca^2}{a^2+c^2}\)

\(\ge3-\frac{ab^2}{2ab}-\frac{bc^2}{2bc}-\frac{ca^2}{2ac}=3-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3}{2}\)

4c, 

\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}=a+b+c-\frac{b^2}{b^2+1}-\frac{c^2}{c^2+1}-\frac{a^2}{a^2+1}+3--\frac{b^2}{b^2+1}-\frac{c^2}{c^2+1}-\frac{a^2}{a^2+1}\)\(\ge6-2\cdot\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=3\)

Đặt \(x^2=a\ge0;y^2=b\ge0\)

Ta có BĐT phụ:\(4ab\le\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(true\right)\)

Ta có:\(\frac{4ab}{\left(a+b\right)^2}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=3\) ( BĐT AM-GM )

Ta có đpcm

Câu 2:

\(\frac{a^2b}{2a^3+b^3}-\frac{1}{3}+1-\frac{a^2+2ab}{2a^2+b^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{2a^2+b^2}-\frac{\left(a-b\right)^2\left(2a+b\right)}{3\left(2a^3+b^3\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\frac{1}{2a^2+b^2}-\frac{\left(2a+b\right)}{3\left(2a^3+b^3\right)}\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a-b\right)^4\left(a+b\right)}{3\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^3+b^3\right)}\ge0\left(ok!\right)\)

Em tính/ quy đồng/ phân tích thành nhân tử sai chỗ nào thì chị tự check nhá:)

Bài 1 có vẻ shitbo ngươc dấu(chỗ nào tự hiểu ha:D)

Đặt \(\left(x^2;y^2\right)=\left(a;b\right)\) thì a, b > 0. Cần chứng minh:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2+\frac{4ab}{\left(a+b\right)^2}-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}-\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\frac{a^2+ab+b^2}{ab\left(a+b\right)^2}\right)\ge0\left(ok\right)\)

Tính + quy đồng + phân tích sai chỗ nào thì chị tự check nha:D

B1:

Từ \(b=\frac{a+c}{2}\Rightarrow2b=a+c\left(1\right)\)

Từ \(c=\frac{2bd}{b+a}\)thay vào (1) ta được:

\(2b=a+\frac{2bd}{b+a}\)

\(\Leftrightarrow2b\left(b+a\right)=a\left(b+a\right)+2bd\)

\(\Leftrightarrow2b^2+2ab=ab+a^2+2bd\)

\(\Leftrightarrow2b^2+ab-a^2-2bd=0\)

\(\Leftrightarrow2b\left(b-d\right)+a\left(b-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2b\left(b-d\right)=a\left(a-b\right)\Leftrightarrow\frac{2b}{a}=\frac{a-b}{b-d}\)

B2: Từ \(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\Rightarrow\frac{1}{c}=\frac{a+b}{2ab}hay2ab=c\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow ab+ab=ac+bc\Rightarrow ab-bc=ac-ab\Rightarrow b\left(a-c\right)=a\left(c-b\right)\)

Do đó: \(\frac{a-c}{c-b}=\frac{a}{b}\)(đpcm)