Cách 1:Ta có: \(2\left(1+a^2\right)\ge\left(1+a\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)^2}\ge\frac{1}{\left[2\left(1+a^2\right)\right]}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{1}{\left[2\left(1+x^2\right)\right]}+\frac{1}{\left[2\left(1+y^2\right)\right]}\)

mà: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{2+x^2+y^2}{1+x^2y^2+x^2+y^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{\left[2.\left(1+xy\right)+\left(x-y\right)^2\right]}{\left(1+xy\right)^2+\left(x-y\right)^2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge2.\frac{1+xy}{\left(1+xy\right)^2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left[2\left(1+x^2\right)\right]}+\frac{1}{\left[2\left(1+y^2\right)\right]}\ge\frac{1}{1+xy}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{1}{1+xy}\)

Nhưng hình như đề fai là 2/1+xy thì fai

\(x-y=6\Rightarrow\left(x-y\right)^2=36\)

\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2=36\)

\(\Rightarrow x^2+y^2-2.30=36\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=96\)

Ta có : \(x^2+2xy+y^2=96+60=156\Rightarrow\left(x+y\right)^2=156\)

\(\Rightarrow x+y=\sqrt{156}=2\sqrt{39}\)

Ta có : \(x^2-y^2=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\)

Tự thế vào nha

a) Dùng hằng đẳng thức: (x+y)² - (x-y)² = 4xy  (1)

Thay x - y = 6 và xy = 30 vào (1), ta được:

  \(\left(x+y\right)^2-6^2=4.30\)  \(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-36=120\)  

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=120+36=156\)  \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y=2\sqrt{39}\\x+y=-2\sqrt{39}\end{cases}}\)

Vì x>y>0 nên \(x+y=2\sqrt{39}\)

Suy ra: \(x^2-y^2=\left(x+y\right)\left(x-y\right)=2\sqrt{39}.6=12\sqrt{39}\)

b) Ta có: \(x^4+y^4=x^4-2x^2y^2+y^4+2x^2y^2=\left(x^2-y^2\right)^2+\left(\sqrt{2}xy\right)^2\) (2)

Thay \(x^2-y^2=12\sqrt{39}\)(câu a)  và \(xy=30\) vào (2), ta được:

\(x^4+y^4=\left(12\sqrt{39}\right)^2+\left(\sqrt{2}.30\right)^2=7416\)

Đề của bạn làm sao ý!! MÌNH KHÔNG CHẮC LÀM ĐÚNG KHÔNG NỮA NHƯNG MONG BẠN NHA. 

(x+1)+(x+3)+...+(x+99)=0

Tổng các số hạng là: (99+1):2=50 (số hạng)

=> (x+1)+(x+3)+...+(x+99)=0 <=> 50.x+(1+3+5+...+99) = 0

<=> 50.x+\frac{\left(99+1\right).50}{2}2(99+1).50​=0 <=> 50.x+2500=0 => x=-2500/50=-50

Ta có x, y ∈ R nên \(\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}\ge\frac{1}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left[\left(1+x\right)^2+\left(1+y\right)^2\right]\ge\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\\ \Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left[2\left(1+x+y\right)+x^2+y^2\right]\ge\left[\left(1+x+y\right)+xy\right]^2\\ \Leftrightarrow1+xy\left(x^2+y^2\right)\ge2xy+x^2y^2\\ \Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2-2xy\right)+\left(x^2y^2-2xy+1\right)\ge0\\ \Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2+\left(xy-1\right)^2\ge0\)

đúng vì x, y > 0

Chứng minh bằng phép biến đổi tương đương:

1.

\(\Leftrightarrow4+x+y\ge4\sqrt{x+y}\)

\(\Leftrightarrow x+y-4\sqrt{x+y}+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+y}-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng

2.

\(\Leftrightarrow\dfrac{y+z}{xyz}\ge\dfrac{4}{x^2+yz}\)

\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)\left(x^2+yz\right)\ge4xyz\)

\(\Leftrightarrow x^2y+x^2z+y^2z+z^2y-4xyz\ge0\)

\(\Leftrightarrow y\left(x^2+z^2-2xz\right)+z\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow y\left(x-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)