a: Xét ΔABC có IK//AC

nên IK/AC=BI/AB

mà AC=AB

nên IK=IB

hay ΔIKB cân tại I

b: Xét ΔIKN và ΔMCN có 

\(\widehat{NIK}=\widehat{NMC}\)

IK=MC

\(\widehat{IKN}=\widehat{MCN}\)

Do đó; ΔIKN=ΔMCN

Suy ra: IK=CM; KN=NC

c: 2IN+CM=IM+CM>IC

mà IC=BM

nên 2IN+CM>BM

Mình chỉ giải được câu a thôi nhé 

ik//ac=>góc ACB=góc IKB(1)

Do tam giác ABC cân tại A =>góc ABC=góc ACB(2)

từ (1) và (2)=>góc IBK= góc ABC hay góc IKB=góc IBK=>tam giác IBK cân tại I

@danggiabao0
Kẻ `ED` // `AF`
Có `hat{B}`=`hat{C}`(gt)
Do `hat{EDB}`=`hat{C}`(đồng vị)
⇒`hat{EDB}`=`hat{B}`
⇒$ΔEBD$ cân
⇒$EB$=$ED$
Mà $BE$=$CF$
⇒$ED$=$CF$
Xét $ΔEDI$ và $ΔFCI$ có:
`hat{DEI}`=`hat{IFC}`(sole)
$ED$=$CF$(cmt)
`hat{EDI}`=`hat{ICF}`(sole)
⇒$ΔEDI$=$ΔFCI$(g.c.g)
⇒$IE$=$IF$

a) Xét ΔIMC vuông tại I và ΔINC vuông tại I có 

CI chung

MI=NI(gt)

Do đó: ΔIMC=ΔINC(hai cạnh góc vuông)

b) Ta có: ΔIMC=ΔINC(cmt)

nên ˆMCI=ˆNCIMCI^=NCI^(hai góc tương ứng)

hay ˆBCA=ˆKCABCA^=KCA^

Xét ΔBAC vuông tại A và ΔKAC vuông tại A có 

AC chung

ˆBCA=ˆKCABCA^=KCA^(cmt)

Do đó: ΔBAC=ΔKAC(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

⇒CB=CK(hai cạnh tương ứng)

Ta có: MI⊥AC(gt)

AB⊥AC(ΔABC vuông tại A)

Do đó: MI//AB(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

hay MN//KB

Xét ΔCKB có

M là trung điểm của CB(gt)

MN//KB(cmt)

Do đó: N là trung điểm của CK(Định lí 1 đường trung bình của tam giác)

c) Ta có: MA=ME(gt)

mà A,M,E thẳng hàng

nên M là trung điểm của AE

Xét tứ giác ABEC có

M là trung điểm của đường chéo BC(gt)

M là trung điểm của đường chéo AE(cmt)

Do đó: ABEC là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

hay AB//EC(Hai cạnh đối trong hình bình hành ABEC)

d) Ta có: ABEC là hình bình hành(cmt)

nên AB=EC(Hai cạnh đối trong hình bình hành ABEC)

mà AB=AK(ΔCBA=ΔCKA)

nên EC=AK

Ta có: AB//EC(Cmt)

nên CE//KA

Xét tứ giác AECK có 

CE//AK(cmt)

CE=AK(cmt)

Do đó: AECK là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Xét ΔCAB có 

M là trung điểm của BC(gt)

MI//AB(cmt)

Do đó: I là trung điểm của AC(Định lí 1 đường trung bình của tam giác)

Ta có: AECK là hình bình hành(cmt)

nên Hai đường chéo AC và EK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)

mà I là trung điểm của AC(cmt)

nên I là trung điểm của EK

hay E,I,K thẳng hàng(đpcm)

chúc bạn học tốt nha cái này mình cũng không chắc là đúng đó bạn :)

a) Xét ΔIMC vuông tại I và ΔINC vuông tại I có

CI chung

MI=NI(gt)

Do đó: ΔIMC=ΔINC(hai cạnh góc vuông)

b) Ta có: ΔIMC=ΔINC(cmt)

nên \(\widehat{MCI}=\widehat{NCI}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{BCA}=\widehat{KCA}\)

Xét ΔCAB vuông tại A và ΔCAK vuông tại A có 

CA chung

\(\widehat{BCA}=\widehat{KCA}\)(cmt)

Do đó: ΔCAB=ΔCAK(Cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

Suy ra: CA=CK(hai cạnh tương ứng)

Ta có: CN+NK=CK(N nằm giữa C và K)

CM+MB=CB(M nằm giữa C và B)

mà CK=CB(cmt)

và CN=CM(ΔCNI=ΔCMI)

nên NK=MB

mà \(MB=\dfrac{BC}{2}\)(M là trung điểm của BC)

nên \(NK=\dfrac{BC}{2}\)

mà BC=KC(cmt)

nên \(NK=\dfrac{CK}{2}\)

mà điểm N nằm giữa hai điểm C và K

nên N là trung điểm của CK(đpcm)

c) Xét ΔAMB và ΔEMC có

MA=ME(gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{EMC}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MC(M là trung điểm của BC)

Do đó: ΔAMB=ΔEMC(c-g-c)

Suy ra: \(\widehat{MAB}=\widehat{MEC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{MAB}\) và \(\widehat{MEC}\) là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//EC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

(Bạn tự vẽ hình giùm)

a/ Ta có \(\widehat{B}=2\widehat{A}\)(1)

và \(\widehat{A}+\widehat{B}=90^o\)(\(\Delta ABC\)vuông tại C) (2)

Thế (1) vào (2), ta có: \(\widehat{A}+2\widehat{A}=90^o\)

=> \(3\widehat{A}=90^o\)

=> \(\widehat{A}=\frac{90^o}{3}=30^o\)

=> \(\widehat{B}=2\widehat{A}=2.30^o=60^o\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}\widehat{A}=30^o\\\widehat{B}=60^o\end{cases}}\)

b/ Ta có \(\widehat{BCA}+\widehat{DCA}=180^o\)(kề bù)

=> 90^o + \(\widehat{DCA}\)= 180^o

=> \(\widehat{DCA}\)= 90^o

\(\Delta ABC\)và \(\Delta ADC\) có: Cạnh AC chung

\(\widehat{DCA}=\widehat{BCA}\left(=90^o\right)\)

BC = DC (gt)

=> \(\Delta ABC\)= \(\Delta ADC\)(c. g. c) => AB = AD (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

c/ Ta có \(\Delta ABC\)= \(\Delta ADC\)(cm câu b) => \(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}\)(hai góc tương ứng)

\(\Delta CNA\)và \(\Delta CMA\)có: NA = MA (gt)

\(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}\)(cmt)

Cạnh CA chung

=> \(\Delta CNA\)= \(\Delta CMA\)(c. g. c) => CN = CM (hai cạnh tương ứng) (đpcm)