a: a,b là các số tự nhiên

=>a+1>=1 và b+5>=5

(a+1)(b+5)=20

mà a+1>=1 và b+5>=5

nên (a+1;b+5) thuộc {(4;5); (2;10); (1;20)}

=>(a,b) thuộc {(3;0); (1;5); (0;15)}

b: a,b là các số tự nhiên

=>2a+3>=3 và b+1>=1

(2a+3)(b+1)=5

mà 2a+3>=3 và b+1>=1

nên (2a+3;b+1)=(5;1)

=>(a,b)=(1;0)

c:

2a+3=b(a+1)

=>2a+2-b(a+1)=-1

=>(a+1)(2-b)=-1

=>(a+1)(b-2)=1

a;b là các số tự nhiên nên a+1>=1 và b-2>=-2

(a+1)(b-2)=1

mà a+1>=1 và b-2>=-2

nên (a+1;b-2)=(1;-1)

=>(a,b)=(3;1)

a: (a,b) thuộc {(3;0); (1;5); (0;15)}

b: (a,b)=(1;0)

c: (a,b)=(3;1)

Vì số tự nhiên cần tìm có đúng 4 ước là

1; a; b; n và n + 1 = 4.( a + b)

Nên n là ước lớn nhất vì vậy n là chính số cần tìm

Vì số ước số của n là 4 và a; b là 2 ước của n nên n = a.b ( a; b \(\in\) P)

Theo bài ra ta có: a.b  + 1 = 4.(a + b) ⇒  a.b + 1 = 4.a + 4.b

⇒ a.b - 4a = 4b - 1 ⇒ a.(b - 4) = 4b - 1 ⇒ a = \(\dfrac{4b-1}{b-4}\) ⇒ a = 4 + \(\dfrac{15}{b-4}\)

Vì a \(\in\) P nên b - 4  \(\in\) Ư(15)

Lập bảng ta có: 

Theo bảng trên ta có a = 5; b = 19 \(\Rightarrow\) n = 5.19 = 95

Vậy các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là 95.

 Ghi chú thử lại ta có: 95 = 5.19

Ư(95) = 1; 5; 19; 95 (đúng 4 ước ok)

95 + 1 = 96 = 4.( 5 + 19) (ok)

WCLN= ƯCLN  nha các bn.Mình viết nhầm

Cho hệ phương trình:

\(\left{\right. a^{3} = 3 \left(\right. a + 2 b \left.\right) \\ b^{3} = 3 \left(\right. b + 2 c \left.\right) \\ c^{3} = 3 \left(\right. c + 2 a \left.\right)\)

Tìm tất cả các số thực \(\left(\right. a , b , c \left.\right)\) thỏa mãn hệ trên.

Hệ phương trình có dạng đối xứng cyclic (tuần hoàn) giữa \(a , b , c\).

Thay vào:

\(t^{3} = 3 \left(\right. t + 2 t \left.\right) = 9 t\)\(t^{3} = 9 t \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t^{3} - 9 t = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t \left(\right. t^{2} - 9 \left.\right) = 0\)

Nên:

\(t = 0 \text{ho}ặ\text{c} t = \pm 3\)

\(\left(\right. a , b , c \left.\right) = \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) , \left(\right. 3 , 3 , 3 \left.\right) , \left(\right. - 3 , - 3 , - 3 \left.\right)\)

Giả sử không phải tất cả bằng nhau.

Đặt:

\(X = a + 2 b , Y = b + 2 c , Z = c + 2 a\)

Theo hệ:

\(a^{3} = 3 X , b^{3} = 3 Y , c^{3} = 3 Z\)

Nhớ rằng:

\(X = a + 2 b , Y = b + 2 c , Z = c + 2 a\)

Ta có hệ tuyến tính:

\(\left{\right. X = a + 2 b \\ Y = b + 2 c \\ Z = c + 2 a\)

Viết dưới dạng ma trận:

\(\left(\right. 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \left.\right) \left(\right. a \\ b \\ c \left.\right) = \left(\right. X \\ Y \\ Z \left.\right)\)

\(a^{3} = 3 X , b^{3} = 3 Y , c^{3} = 3 Z\)

Điều này khá phức tạp, ta chuyển sang bước khác.

\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 \left(\right. a + b + c + 2 b + 2 c + 2 a \left.\right) = 3 \left(\right. 3 \left(\right. a + b + c \left.\right) \left.\right) = 9 \left(\right. a + b + c \left.\right)\)

Như vậy:

\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 9 \left(\right. a + b + c \left.\right)\)

Công thức trên trở thành:

\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 9 S\)

Sử dụng công thức tổng lập phương:

\(a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = \left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a \left.\right)\)

Nếu \(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 9 S\), thì:

\(a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = 9 S - 3 a b c\)

Nhưng nếu \(a , b , c\) bằng nhau, ta có nghiệm đã tìm. Nếu không, có thể \(S = 0\).

Nếu \(a + b + c = 0\), thì:

\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c\)

Theo bước 7, \(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 9 S = 0\), nên:

\(3 a b c = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } a b c = 0\)

Nếu tổng bằng 0, tích bằng 0 ⇒ ít nhất một trong ba số là 0.

Giả sử \(c = 0\), hệ trở thành:

\(\left{\right. a^{3} = 3 \left(\right. a + 2 b \left.\right) \\ b^{3} = 3 b \\ 0 = 3 \left(\right. 0 + 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 0 = 6 a \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } a = 0\)

Từ đó:

\(a = 0\)

Phương trình thứ hai:

\(b^{3} = 3 b \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b^{3} - 3 b = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b \left(\right. b^{2} - 3 \left.\right) = 0\)

Nên:

\(b = 0 , b = \sqrt{3} , b = - \sqrt{3}\)

Vậy nghiệm:

\(\left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , \sqrt{3} , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , - \sqrt{3} , 0 \left.\right)\)

\(\left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , \sqrt{3} , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , - \sqrt{3} , 0 \left.\right) , \ldots\)

Tham khảo