Cho \(\Delta ABC\) có các đường trung tuyến AM; BN; CP. C/minh: \(AM+BN+CP< AB+BC+AC\)
Cho \(\Delta ABC\) có các đường trung tuyến AM; BN; CP. C/minh: \(AM+BN+CP< AB+BC+AC\)
Lời giải:
Theo BĐT về tam giác: độ dài một cạnh tam giác thì nhỏ hơn tổng độ dài 2 cạnh còn lại:
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AM< MP+AP\\ AM< MN+AN\end{matrix}\right.\Rightarrow 2AM< MP+MN+AP+AN\)
Dễ nhận thấy $MN,MP$ là các đường trung bình của tam giác $ABC$
\(\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AB; MP=\frac{1}{2}AC\)
Lại có: \(AP=\frac{1}{2}AB; AN=\frac{1}{2}AC\)
Do đó: \(2AM< \frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC=AB+AC\)
\(\Rightarrow AM< \frac{AB+AC}{2}\)
Hoàn toàn TT với \(BN, CP\) suy ra:
\(AM+BN+CP< \frac{AB+AC}{2}+\frac{BC+BA}{2}+\frac{CA+CB}{2}=AB+BC+AC\)
Ta có đpcm
Cho \(\Delta ABC\) có các đường trung tuyến AM, BN, CP.
C/minh: \(\dfrac{3}{4}\left(AB+BC+CA\right)< AM+BN+CP< AB+BC+CA\)
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD
Dễ dàng chứng minh t/g ABM = t/g DCM (c.g.c) => AB = CD
Xét t/g ACD có: AD < AC + CD
=> 2AM < AC + AB => AM < \(\frac{AB+AC}{2}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(BN< \frac{AB+BC}{2};CF< \frac{CA+CB}{2}\)
\(\Rightarrow AM+BN+CP< \frac{AB+AC+AB+BC+CA+CB}{2}=\frac{2\left(AB+AC+BC\right)}{2}=AB+AC+BC\) (1)
Gọi trọng tâm là G
Xét t/g GBC có: GB + GC > BC => \(\frac{2}{3}BN+\frac{2}{3}CP>BC\) => \(BN+CP>\frac{3}{2}BC\)
Tương tự ta có: \(AM+CP>\frac{3}{2}AC;AM+BN>\frac{3}{2}AB\)
=> BN + CP + AM + CP + AM + BN > \(\frac{3}{2}BC+\frac{3}{2}AC+\frac{3}{2}AB\)
=> 2(AM + BN + CP) > \(\frac{3}{2}\left(AB+BC+AC\right)\)
=> AM + BN + CP > \(\frac{3}{4}\left(AB+BC+AC\right)\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{3}{4}\left(AB+BC+AC\right)< AM+BN+CP< AB+BC+AC\) (đpcm)
Cho △ABC, 3 đường trung tuyến AM, BN,CP và trọng tâm G. Chứng minh:
a) BN+CP>(3:2)BC
b)AM<(AB+AC):2
c)3:4 (AB+BC+AC)<AM+BN+CP<AB+BC+AC
Cho tam giác abc có ba đường trung tuyến AM,BN,CP cắt nhau tại G. Chứng minh rằng:
AM+BN+CP<AB+AC+BC
Cho \(\Delta ABC\) có các đường trung tuyến AM, BN, CP.
C/minh: \(\dfrac{3}{4}\left(AB+BC+CA\right)< AM+BN+CP< AB+BC+CA\)
Gọi O là trọng tâm của tam giác. Ta có:
OA + OB > AB
OA + OC > AC
OB + OC > BC
=> 2(OA + OB + OC) > AB + BC + CA
\(\Rightarrow2\cdot\left(\dfrac{2}{3}AM+\dfrac{2}{3}BN+\dfrac{2}{3}CP\right)>AB+BC+CA\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{3}\left(AM+BN+CP\right)>AB+BC+CA\)
\(\Rightarrow AM+BN+CP>\dfrac{3}{4}\left(AB+BC+CA\right)\)
Ta có:
Nếu góc AMB tù hoặc vuông thì AB > AM
Nếu góc AMC tù hoặc vuông thì AC > AM
Tương tự: BC > BN hoặc BA > BN
CA > CP hoặc CB > CP
Vậy các cạnh của tam giác ABC luôn lớn hơn 2 trong 3 trung tuyến
=> AB + BC + CA > AM + BN + CP
Vậy...........................................
cho tam giác ABC có trọng tâm G #đường trung tuyến AM : BN ; CP
CM 3(AM+BN+CP)<2(AB+BC+AC
Cho Tam giác ABC với ba đường trung tuyến AM , BN , CP và trọng tâm G .Chứng minh rằng
a, AM < ( AB + AC )
b, ( AB + AC + CA ) < AM + BN + CP < AB + BC + CA
cho tam giác ABC vuông tại A. Có các đường trung tuyến là AM,BN,CP. Tính độ dài các đường trung tuyến biết rằng BC=a,AC=b,AB=c
Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM , BN , CP . Chứng minh BN + CP > 3/2 BC
Gọi giao điểm của ba đường trung tuyến AM, BN, CP là G (G là trọng tâm)
Theo tính chất trọng tâm. Ta có: \(BG+CG=\frac{2}{3}\left(BN+CP\right)\) (1)
Mặt khác theo BĐT tam giác: \(BG+CG>BC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{2}{3}\left(BN+CP\right)>BC\). Nhân \(\frac{3}{2}\) vào hai vế của BĐT ta được:
\(BN+CP>\frac{3}{2}BC\) (đpcm)