Xét f(x) là hằng số thì \(f\left(x\right)\equiv0\).

Xét f(x) khác hằng.

Ta có \(a^2=\sqrt{\dfrac{3}{4}}+\sqrt{\dfrac{4}{3}}+2\Rightarrow a^2-2=\sqrt{\dfrac{3}{4}}+\sqrt{\dfrac{4}{3}}\)

\(\Rightarrow\left(a^2-2\right)^2=\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{3}+2=\dfrac{49}{12}\Rightarrow a^4-4a^2-\dfrac{1}{12}=0 \).

Bằng cách đồng nhất hệ số, dễ dàng chứng minh được đa thức \(P\left(x\right)=x^4-4x^2-\dfrac{1}{12}\) bất khả quy trên \(\mathbb{Q}[x]\).

Do đó ta có P(x) là đa thức tối tiểu của a, tức mọi đa thức hệ số hữu tỉ khác nhận a là nghiệm đều chia hết cho P(x).

Vì f(x) là đa thức hệ số nguyên nên \(f\left(x\right)\) chia hết cho \(12P\left(x\right)=12x^4-48x^2-1\).

Vậy \(f\left(x\right)=K\left(x\right)\left(12x^4-48x^2-1\right)\), với \(K\in\mathbb Z[x]\) bất kì.

Bậc nhỏ nhất của đa thức \(P\left(x\right)\)là \(3.2=6\).

\(x=\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow x-\sqrt{2}=\sqrt[3]{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{2}\right)^3=2\)

\(\Leftrightarrow x^3-3\sqrt{2}x^2+6x-2\sqrt{2}=2\)

\(\Leftrightarrow x^3+6x-2=3\sqrt{2}x^2+2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3+6x-2\right)^2=2\left(3x^2+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^6+36x^2+4+12x^4-24x-4x^3=18x^4+24x^2+8\)

\(\Leftrightarrow x^6-6x^4-4x^3+12x^2-24x-4=0\)

\(P\left(x\right)=x^6-6x^4-4x^3+12x^2-24x-4\)

Nếu đa thức trên có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm có có dạng \(\frac{p}{q}\)với \(p\)là ước của \(-4\)và \(q\)là ước của \(1\).

Nên có thể là các giá trị \(\left\{-4,-2,-1,1,2,4\right\}\). 

Ta thử các giá trị trên đều thấy không phải là nghiệm của \(P\left(x\right)\).

Do đó đa thức đó không có nghiệm hữu tỉ. 

Ta có:

\(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

nên  \(x^2=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x^2=5+2\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow\) \(\left(x^2-5\right)^2=\left(2\sqrt{6}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x^4-10x^2+25=24\)

hay   \(x^4-10x^2+1=0\)

Đa thức  \(a^4-10a^2+1=0\)  là đa thức hệ số nguyên (bậc dương nhỏ nhất) nhận số \(x\)  làm nghiệm

f(x) có nghiệm 

=> \(b^2\ge4c\)

\(f\left(2\right)=4+2b+c=\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c+1+1+1+1\)

                                        \(\ge9\sqrt[9]{\frac{1}{16}b^4c}\ge9\sqrt[9]{\frac{1}{16}.\left(4c\right)^2.c}=9\sqrt[3]{c}\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi b=2,c=1