Cho AD là phân giác của \(\Delta ABC\).Qua D kẻ đường thẳng Dx // AB, Dx cắt cạnh AC tại điểm E. Vẽ đường thẳng Ey // BC, Ey cắt cạnh AB tại điểm F. Chứng tỏ rằng : AE = BF
Ta có: AD là phân giác của BAC (gt)
=> góc A1 = góc A2
Lại có AB // ED (gt)
=> góc A1 = góc D1 ( 2 góc so le trong )
Mà góc A1 = góc A2 ( cmt )
=> góc A2 = góc D1
=> Tam giác EAD cân tại E
=> EA = ED ( đ/n tam giác cân )
Mặt khác : AB // ED cắt EF // BC => BF = ED (tính chất đoạn chắn)
Mà EA = ED => BF = AE ( đpcm )
( * Tính chất đoạn chắn học ở lớp 7 rồi nhé bạn :3 . Hai đoạn thẳng song song chắn giữa 2 đường thẳng song song thì bằng nhau ( tính chất đoạn chắn )
Cho tam giác ABC. Từ điểm E trên cạnh AC, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt CB tại D. Cũng từ E, kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB ở F. Biết AE = BF, chứng minh AD là phân giác góc A
Bài 1:Cho tam giác ABC cân tại A.Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD=CE. Từ D kẻ DM,twf E kẻ EN cùng vuông góc với đường thẳng BC (M,N thuộc đường thẳng BC).Chứng minh:a)DM=EN b)Tam giác ADM bằng tam giác AEN c)Kẻ tia Dx vuông góc với AD tại D,kẻ tia Ey vuông góc với AE tại E, Dx cắt Ey tại P.Chứng minh rằng AP đi qua trung điểm của DE
Cho tam giác ABC. Từ một điểm E trên cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F và đường thăng song song vói AB cắt BC tại D. Giả sử AE = BF, chứng minh:
a) Tam giác AED cân;
b) AD là phân giác của góc A.
a) Chứng minh BDEF là hình bình hành Þ ED= BF = AE Þ DAED cân ở E.
b) Ta có B A D ^ = D A C ^ (vì cùng bằng A D E ^ ) Þ AD là phân giác Â
Cho tam giác ABC từ một điểm E trên cạnh AC vẽ đường song song với BC cắt AB tại F và đường thẳng song song với AB cắt BC tại D. Giả sử AE=BF a, Chứng minh tam giác AED cân b, Chứng minh AD là phân giác góc A
a: Xét tứ giác BFED có
FE//BD
DE//BF
Do đó: BFED là hình bình hành
Suy ra: DE=BF
mà AE=BF
nên ED=EA
hay ΔAED cân tại E
Cho tam giác ABC nhọn với AB<BC và D là điểm thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác của B A C ^ .
Đường thẳng qua C và song song với AD, cắt trung trực của AC tại E.
Đường thẳng qua B song song với AD, cắt trung trực của AB tại F.
1) Chứng minh rằng tam giác ABF đồng dạng với tam giác ACE.
2). Chứng minh rằng các đường thẳng B E ; C F ; A D đồng quy tại một điểm, gọi điểm đó là G.
3). Đường thẳng qua G song song với AE cắt đường thẳng BF tại Q. Đường thẳng QE, cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC tại P khác E. Chứng minh rằng các điểm A, P, G, Q, F cùng thuộc một đường tròn.
1). Tam giác ABF và tam giác ACE ần lượt cân tại F, E và
F B A ^ = E C A ^ = A ^ 2 ⇒ Δ A B F ∽ Δ A C E .
2). Giả sử G là giao điểm của BE và CF.
Ta có G F G C = B F C E = A B A C = D B D C ⇒ G D ∥ F B , và F B ∥ A D ta có G ∈ A D .
3). Chứng minh B Q G ^ = Q G A ^ = G A E ^ = G A C ^ + C A E ^ = G A B ^ + B A F ^ = G A F ^ , nên AGQF nội tiếp, và Q P G ^ = G C E ^ = G F Q ^ , suy ra tứ giác FQGP nội tiếp.
1) Chứng minh rằng tam giác \( A B F \) đồng dạng với tam giác \( A C E \):
- Tam giác \(ABF\) và \(ACE\) có:
+ Góc \(A\) chung.
+ Góc \(BAF\) bằng góc \(CAE\) (vì \(AD\) là phân giác của góc \(BAC\) và \(CF\), \(BE\) song song với \(AD\)).
Do đó, tam giác \(ABF\) đồng dạng với tam giác \(ACE\) (theo trường hợp góc-góc).
2) Chứng minh rằng các đường thẳng \(BE\), \(CF\), \(AD\) đồng quy:
- Gọi \(G\) là giao điểm của \(BE\) và \(CF\).
- \(AD\) là phân giác góc \(BAC\), và \(BE\), \(CF\) song song với \(AD\). Do đó, \(G\) cũng nằm trên phân giác \(AD\).
- Vậy \(BE\), \(CF\), \(AD\) đồng quy tại \(G\).
3) Chứng minh rằng các điểm \(A\), \(P\), \(G\), \(Q\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn:
- Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(GEC\) là \(\omega\).
- \(QE\) cắt \(\omega\) tại \(P\) khác \(E\), vậy \(P\) nằm trên đường tròn \(\omega\).
- \(GQ\) song song với \(AE\), và \(AE\) là đường kính của \(\omega\) (vì \(E\) là trung điểm của \(AC\) và \(G\) nằm trên phân giác của \(BAC\)). Do đó, \(GQ\) là dây cung của \(\omega\).
- \(PF\) là tiếp tuyến của \(\omega\) tại \(P\) (vì \(QE\) là tiếp tuyến và \(PF\) là phần kéo dài của \(QE\)).
- Góc \(PGF\) bằng góc \(GAC\) (cùng chắn cung \(GC\) của \(\omega\)).
- \(AF\) là trung trực của \(AB\), nên \(ABF\) là tam giác cân tại \(A\). Do đó, góc \(AFB\) bằng góc \(ABF\).
- Góc \(ABF\) bằng góc \(GAC\) (do đồng dạng của tam giác \(ABF\) và \(ACE\)).
- Vậy, góc \(PGF\) bằng góc \(AFB\). Do đó, \(A\), \(P\), \(G\), \(Q\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.
Cho tam giác ABC, phân giác AD, qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F
a) Chứng minh AE=BF
b) Kẻ phân giác ngoài tại A của tam giác ABC cắt DE tại G. Chứng minh rằng E là trung điểm của DG
c) Đường thẳng vuông góc với AD tại D cắt AB, AC lần lượt tại H, K. Chứng minh AH=2FB
d) Từ E kẻ đường thẳng song song với DK cắt AD tại I.Chứng minh H, I, G thẳng hàng
Cho tam giác ABC từ một điểm E trên cạnh AC vẽ đường song song với BC cắt AB tại F và đường thẳng song song với AB cắt BC tại D. Giả sử AE=BF
a, Chứng minh tam giác AED cân
b, Chứng minh AD là phân giác góc A
a, Vì : ED//AB → ED//FB
EF//BC → EF//BD
Nên FEDB là hình bình hành → FB = ED
Mà AE = FB (gt) →AE = ED → Δ EAD là tam giác cân và cân tại E
b, Vì Δ EAD là tam giác cân tại E
nên ta có góc ADE = góc DAE(1)
VÌ DE // AB nên ta có góc ADE =góc BAD (2)
Từ (1) và (2) ta có góc DAE =góc BAD
hay AD là phân giác của góc A
Cho tam giác ABC, D là điểm đối xứng của C qua B, E là điểm đối xứng của B qua C. Qua D kẻ Dx song song với AB, qua E kẻ Ey song song với AC. Hai đường thẳng Dx và Ey cắt nhau tại F. FA cắt BC tại M.
a, CM \(\frac{MB}{BD}=\frac{ME}{CE}\)
b, Điểm A đóng vai trò gì trong tam giác DEF
a) (mình nghĩ đổi ME/CE thành MC/ME mới đúng chứ nhỉ?)
Áp dụng định lý Talet trong 2 \(\Delta MBA\)và \(\Delta MDF\)ta có:
\(\frac{MB}{MD}=\frac{MA}{MF}\left(1\right)\)
Tương tự áp dụng Talet trong 2 tam giác MAC,MFE ta có:
\(\frac{MC}{ME}=\frac{MA}{MF}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)
b) (A là trọng tâm của tam giác DEF)
Dễ dàng chứng minh: \(\frac{BC}{DE}=\frac{1}{3}\)(tự c/m)
tam giác ABC đồng dạng với tam giác FDE theo trường hợp g.g (tự c/m)
=> BC/DE=AB/DF=AC/EF=1/3
tam giác MBA đồng dạng với tam giác MDF theo trường hợp g.g (tự c/m)
=> MA/MF=AB/DF=1/3
=>3.AM=MF
=> (ĐPCM)
Cho tam giác ABC (AB<AC). Đường phân giác AD của góc A cắt cạnh BC ở D, từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳng // với AD cắt AC tại F và cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh BE = CF.
