Với \(a\in Z\), 5 là số nguyên tố nên theo định lí Phéc-ma ta có:

\(a^5-a\) \(⋮5\)

Mà theo đề \(a^5⋮5\) nên a \(⋮5\) hay \(a^2⋮25\) và 150n \(⋮25\)

Vậy \(a^2+150n\) \(⋮25\)

a) Ta có:

\( A = 5+5^2+5^3+\ldots+5^{100} \)

Để chứng minh A chia hết cho 5, ta xét tổng S = \( 5+5^2+5^3+\ldots+5^{100} \) (mod 5).

Ta thấy rằng \( 5 \) chia hết cho 5, \( 5^2 \) chia hết cho 5, \( 5^3 \) chia hết cho 5, và tiếp tục như vậy cho tới \( 5^{100} \).

Vì vậy, ta có: \( S \equiv 0+0+0+\ldots+0 \equiv 0 \) (mod 5).

Do đó, A chia hết cho 5.

Để chứng minh A không chia hết cho 25, ta xét tổng T = \( 5+5^2+5^3+\ldots+5^{100} \) (mod 25).

Ta thấy rằng \( 5 \) không chia hết cho 25, \( 5^2 \) không chia hết cho 25, \( 5^3 \) không chia hết cho 25, và tiếp tục như vậy cho tới \( 5^{100} \).

Vì vậy, ta có: \( T \equiv 5+0+0+\ldots+0 \equiv 5 \) (mod 25).

Do đó, A không chia hết cho 25.

b) Ta có:

\( B = 5+5^2+5^3+\ldots+5^{20} \)

Để chứng minh B chia hết cho 6, ta xét tổng U = \( 5+5^2+5^3+\ldots+5^{20} \) (mod 6).

Ta thấy rằng \( 5 \) chia hết cho 6, \( 5^2 \) không chia hết cho 6, \( 5^3 \) không chia hết cho 6, \( 5^4 \) chia hết cho 6, và tiếp tục như vậy cho tới \( 5^{20} \).

Vì vậy, ta có: \( U \equiv 5+1+1+\ldots+1 \equiv 5 \) (mod 6).

Do đó, B chia hết cho 6.

c) Ta có:

\( C = 5+5^2+5^3+\ldots+5^{2022}+5^{2023} \)

Để chứng minh C không chia hết cho 6, ta xét tổng V = \( 5+5^2+5^3+\ldots+5^{2022}+5^{2023} \) (mod 6).

Ta thấy rằng \( 5 \) chia hết cho 6, \( 5^2 \) không chia hết cho 6, \( 5^3 \) không chia hết cho 6, \( 5^4 \) chia hết cho 6, và tiếp tục như vậy cho tới \( 5^{2022} \) và \( 5^{2023} \).

Vì vậy, ta có: \( V \equiv 5+1+1+\ldots+1 \equiv 2 \) (mod 6).

Do đó, C không chia hết cho 6.

d) Ta có:

\( D = 1+2+2^2+2^3+\ldots+2^{2021} \)

Để chứng minh D chia hết cho 7, ta xét tổng W = \( 1+2+2^2+2^3+\ldots+2^{2021} \) (mod 7).

Ta thấy rằng \( 2 \) không chia hết cho 7, \( 2^2 \) chia hết cho 7, \( 2^3 \) không chia hết cho 7, \( 2^4 \) không chia hết cho 7, \( 2^5 \) không chia hết cho 7, \( 2^6 \) chia hết cho 7, và tiếp tục

mong mn cho minh vai xu :)))))))))))))))))))))))))))))))))

bạn Tiến Dũng Trương lm sai r

a, A = 5 + 5² + 5³ + ... + 5¹⁰⁰

    A = 5. ( 1 + 5 + ...+ 5⁹⁹)

    5 ⋮ 5 ⇒A =  5.(1 + 5 + ...+ 5⁹⁹) ⋮ 5 (1) 

A  = 5 + 5² + 5³ + ... + 5¹⁰⁰

A  = 5 + 5².( 1 + 5 + 5² + ... + 5⁹⁸)

A = 5 + 25 . ( 1 + 5 + 5² +...+ 5⁹⁸)

Vì 25 ⋮ 25 nên 25.(1 + 5 + 5² +... + 5⁹⁸) ⋮ 25 

5 không chia hết cho 25 nên 

A = 5 + 25.( 1 + 5 +...+ 5⁹⁸) không chia hết cho 25 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

A ⋮ 5 nhưng không chia hết cho 25 (đpcm)

a) Đặt A = \(6^5.5-3^5\)

\(=\left(2.3\right)^5.5-3^5\)

\(=2^5.3^5.5-3^5\)

\(=3^5.\left(2^5.5-1\right)\)

\(=3^5.\left(32.5-1\right)\)

\(=3^5.159\)

\(=3^5.3.53⋮53\)

Vậy \(A⋮53\)

b) Đặt \(B=2+2^2+2^3+...+2^{120}\)

\(=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{119}+2^{120}\right)\)

\(=2.\left(1+2\right)+2^3.\left(1+2\right)+...+2^{119}.\left(1+2\right)\)

\(=2.3+2^3.3+...+2^{119}.3\)

\(=3.\left(2+2^3+...+2^{59}\right)⋮3\)

Vậy \(B⋮3\)

\(B=\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+...+\left(2^{118}+2^{119}+2^{120}\right)\)

\(=2.\left(1+2+2^2\right)+3^4.\left(1+2+2^2\right)+...+2^{118}.\left(1+2+2^2\right)\)

\(=2.7+2^4.7+...+2^{118}.7\)

\(=7.\left(2+2^4+...+2^{118}\right)⋮7\)

Vậy \(B⋮7\)

\(B=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+\left(2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}\right)\)

\(+...+\left(2^{116}+2^{117}+2^{118}+2^{119}+2^{120}\right)\)

\(=2.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^6.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(+2^{116}.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(=2.31+2^6.31+...+2^{116}.31\)

\(=31.\left(2+2^6+...+2^{116}\right)⋮31\)

Vậy \(B⋮31\)

\(B=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8\right)+\left(2^9+2^{10}+2^{11}+2^{12}+2^{13}+2^{14}+2^{15}+2^{16}\right)\)

\(+...+\left(2^{113}+2^{114}+2^{115}+2^{116}+2^{117}+2^{118}+2^{119}+2^{120}\right)\)

\(=2.\left(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7\right)+2^9.\left(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7\right)\)

\(+...+2^{113}.\left(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7\right)\)

\(=2.255+2^9.255+...+2^{113}.255\)

\(=255.\left(2+2^9+...+2^{113}\right)\)

\(=17.15.\left(2+2^9+...+2^{113}\right)⋮17\)

Vậy \(B⋮17\)

c) Đặt C = \(3^{4n+1}+2^{4n+1}\)

Ta có:

\(3^{4n+1}=\left(3^4\right)^n.3\)

\(2^{4n}=\left(2^4\right)^n.2\)

\(3^4\equiv1\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow\left(3^4\right)^n\equiv1^n\left(mod10\right)\equiv1\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow3^{4n+1}\equiv\left(3^4\right)^n.3\left(mod10\right)\equiv1.3\left(mod10\right)\equiv3\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow\) Chữ số tận cùng của \(3^{4n+1}\) là \(3\)

\(2^4\equiv6\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow\left(2^4\right)^n\equiv6^n\left(mod10\right)\equiv6\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow2^{4n+1}\equiv\left(2^4\right)^n.2\left(mod10\right)\equiv6.2\left(mod10\right)\equiv2\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow\) Chữ số tận cùng của \(2^{4n+1}\) là \(2\)

\(\Rightarrow\) Chữ số tận cùng của C là 5

\(\Rightarrow C⋮5\)

d) Đặt \(D=75+\left(4^{2006}+4^{2005}+4^{2004}+...+1\right).25\)

Đặt \(E=4^{2006}+4^{2005}+4^{2004}+...+1\)

\(\Rightarrow4E=4^{2007}+4^{2006}+4^{2005}+...+4\)

\(\Rightarrow3E=4E-E\)

\(=\left(4^{2007}+4^{2006}+4^{2005}+...+4\right)-\left(4^{2006}+4^{2005}+4^{2004}+...+1\right)\)

\(=4^{2007}-1\)

\(\Rightarrow E=\dfrac{\left(4^{2007}-1\right)}{3}\)

\(\Rightarrow D=75+\dfrac{4^{2007}-1}{3}.25\)

Ta có:

\(4^{2007}=\left(4^2\right)^{1003}.4\)

\(4^2\equiv6\left(mod10\right)\)

\(\left(4^2\right)^{1003}\equiv6^{1003}\left(mod10\right)\equiv6\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow4^{2007}\equiv\left(4^2\right)^{1003}.4\left(mod10\right)\equiv6.4\left(mod10\right)\equiv4\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow\) Chữ số tận cùng của \(4^{2007}\) là 4

Ta có : aⁿ chia hết cho 5 nên a chia hết cho 5

=> a² chia hết cho 5 

Do a² chia hết cho 5 và 150 cũng chia hết cho 5

nên a²+150 chia hết cho 5

Vậy a²+150 chia hết cho 5

tick nha

Do các số \(5^2,5^3,...,5^{80}\)đều chia hết cho 25 mà \(5\)không chia hết cho 25

do đó A không chia hết cho 25