\(P=\dfrac{1}{2}\left(2x+4y+6z\right)\left(6x+3y+2z\right)\le\dfrac{1}{8}\left(2x+4y+6z+6x+3y+2z\right)^2\)

\(P\le\dfrac{1}{8}\left(8x+7y+8z\right)^2\le\dfrac{1}{8}\left(8x+8y+8z\right)^2=8\)

\(P_{max}=8\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\7y=8y\\2x+4y+6z=6x+3y+2z\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2}\right)\)

Mình làm một câu để bạn tham khảo, sau đó bạn áp dụng làm các bài còn lại nha ^^

Có gì không hiểu bạn ib nha ^^

1. \(2x=3y-2x\left(1\right)\) và \(x+y=14\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow4x=3y\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, có:

\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{x+y}{3+4}=\dfrac{14}{7}=2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2.3=6\\y=2.4=8\end{matrix}\right.\)

Bạn tự kết luận ^^

sao nhieu bt the ban

nhiều vầy vỡ mồm

Ta có bđt \(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)\)

\(\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)\)

Áp dụng nhiều lần bđt trên ta được

\(\(\frac{1}{3x+3y+2z}=\frac{1}{\left(2x+y+z\right)+\left(x+2y+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}\right)\)\)

\(\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\right)\)\)

\(\(\le\frac{1}{4}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\right]\)\)

\(\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)\)

C/m tương tự cho các bđt còn lại

\(\(\frac{1}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\)\)

\(\(\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{y+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\)\)

Cộng vế theo vế được

\(\(P\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{1}{4}.6=\frac{3}{2}\)\)

Dấu "=" xảy ra

\(\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x=6}\end{cases}}\)\)

\(\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\\frac{3}{2x}=6\end{cases}}\)\)

\(\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x=\frac{1}{4}\end{cases}}\)\)

\(\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{4}\)\)

Vậy ..........

cách khác :)) 

\(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y+z\le3\)

\(P=\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\)

\(P=\frac{1}{3\left(x+y+z\right)-z}+\frac{1}{3\left(x+y+z\right)-y}+\frac{1}{3\left(x+y+z\right)-x}\)

\(\ge\frac{9}{9\left(x+y+z\right)-\left(x+y+z\right)}=\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.3}=\frac{3}{8}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{4}\)

0000....78

Áp dụng bất đẳng thức\(\left(a+b\right)^2>=4ab\)

Ta có

2P=(2x+4y+6z)(6x+3y+2z) <= (8(x+y+z)-y)^2/4 <= ((8-y)^2)/4 <= (8^2)/4= 16

Dấu "=" xảy ra khi x=1/2; y=0;z=1/2

Do đó max P=8 khi x=1/2;y=0;z=1/2

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{2x+y+2z}{x+y+3z}=\frac{2x+2y+z}{3x+y+z}=\frac{x+2y+2z}{x+3y+z}=\frac{2x+y+2z+2x+2y+z+x+2y+2z}{x+y+3z+3x+y+z+x+3y+z}=\frac{5x+5y+5z}{5x+5y+5z}=1\)

Vậy x=y=z

3: 10x=6y=5z

\(\Leftrightarrow\dfrac{10x}{30}=\dfrac{6y}{30}=\dfrac{5z}{30}\)

hay x/3=y/5=z/6

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{6}=\dfrac{x+y-z}{3+5-6}=\dfrac{24}{2}=12\)

Do đó: x=36; y=60; z=72

4: Ta có: 9x=3y=2z

nên \(\dfrac{9x}{18}=\dfrac{3y}{18}=\dfrac{2z}{18}\)

hay x/2=y/6=z/9

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{z}{9}=\dfrac{x-y+z}{2-6+9}=\dfrac{50}{5}=10\)

Do đó: x=20; y=60; z=90

sai đề

khong phai sai de dau ban gi oi

\(\frac{16}{3x+3y+2z}=\frac{16}{\left(x+y\right)+\left(x+y\right)+\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\)

Tương tự:

\(\frac{16}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{z+y}\)

\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+y}+\frac{1}{y+x}+\frac{1}{x+z}\)

\(\Rightarrow16P\le4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=4\cdot6=24\)

\(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\) tại \(x=y=z=\frac{1}{4}\)