Ta có: ΔEAH vuông tại E

mà EI là đường trung tuyến

nên IE=IH

=>ΔIEH cân tại I

=>\(\widehat{IHE}=\widehat{IEH}\)

mà \(\widehat{IHE}=\widehat{BHD}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{BHD}=\widehat{BCE}\left(=90^0-\widehat{EBC}\right)\)

 nên \(\widehat{IEH}=\widehat{BCE}\)

Ta có: ΔEBC vuông tại E

mà EO là đường trung tuyến

nên OE=OB

=>ΔOEB cân tại O

=>\(\widehat{OEB}=\widehat{OBE}\)

Ta có: \(\widehat{IEO}=\widehat{IEH}+\widehat{OEH}\)

\(=\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=90^0\)

=>ΔIEO vuông tại E

Ta có: ΔAFH vuông tại F

mà FI là đường trung tuyến

nên FI=IH

=>FI=IE

=>I nằm trên đường trung trực của FE(1)

Ta có: ΔBFC vuông tại F

mà FO là đường trung tuyến

nên \(FO=\dfrac{BC}{2}\)

mà EO=BC/2

nên FO=EO

=>O nằm trên đường trung trực của EF(2)

Từ (1) và (2) suy ra IO là đường trung trực của EF

=>IO\(\perp\)EF tại K và K là trung điểm của FE

Xét ΔIEO vuông tại E có EK là đường cao

nên \(IK\cdot IO=IE^2\)

=>\(IK\cdot IO=\left(\dfrac{1}{2}AH\right)^2=\dfrac{1}{4}AH^2\)

=>\(AH^2=4\cdot IK\cdot IO\)

Ai giúp em nhanh bài tập này được không ạ?

Gọi O là trung điểm của BC

góc AFH+góc AEH=180 độ

=>AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>AFHE nội tiếp (M)

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>BFEC nội tiếp (O)

góc MFO=góc MFH+góc OFH

=góc MHF+góc OCF

=góc FBC+góc FCB=90 độ

=>MF là tiếp tuyến của (O)

Xét ΔMFO và ΔMEO có

MF=ME

OF=OE

MO chung

=>ΔMFO=ΔMEO

=>góc MEO=90 độ

=>ME là tiếp tuyến của (O)

Ta cần chứng minh H là trực tâm của tam giác ASM. Với mục đích này, ta sẽ sử dụng tính chất của hình chữ nhật.

Vì M là trung điểm BC, ta có BM = MC. Do đó, SM là đường trung trực của BC.

Vì EF ⊥ BE và CF, nên EF song song với đường BC (vì BE // CF). Do đó, S nằm trên đường trung trực của BC.

Vì H là giao điểm của AD và BE, ta có AH  ⊥ BC và BH ⊥ AC. Do đó, AH // SM và BH // SM.

Khi đó, ta suy ra được rằng tứ giác ABSH là hình chữ nhật (do có 2 cặp cạnh đối nhau là song song và bằng nhau).

Do AS là đường chéo của hình chữ nhật ABSH, nên H là trực tâm của tam giác ASM.

Vậy, H là trực tâm của tam giác ASM. 

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F co

góc A chung

=>ΔAEB đồng dạng với ΔAFC

b: ΔAEB đồng dạng với ΔAFC

=>AE/AF=AB/AC

=>AE*AC=AB*AF

Có AD \(\perp\)BC nên ta có \(\widehat{ACD}=90-\widehat{DAC}\)

cmtt có \(\widehat{AHE}=90-\widehat{DAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{AHE}\)

mà \(\widehat{AFE}=\widehat{AHE}\)

\(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{ACD}\)

Xét \(\Delta\) AFE và \(\Delta\) ABC có 

\(\widehat{AFE}=\widehat{ACD}\left(cmt\right)\)

\(\widehat{BAC}chung\)

\(\Rightarrow\Delta AFE\infty\Delta ABC\left(g-g\right)\)

#cỪu