\(\dfrac{2x^3+x^2+2x+2}{2x+1}\left(đk:x\ne-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\left(2x+1\right)\left(x^2+1\right)}{2x+1}+\dfrac{1}{2x+1}=x^2+1+\dfrac{1}{2x+1}\)

Do x nguyên nên để biểu thức trên có giá trị nguyên thì :

\(1⋮2x+1\Rightarrow2x+1\inƯ\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{0;-1\right\}\)

\(\dfrac{2x^3+x^2+2x+2}{2x+1}\)

\(=\dfrac{2x^3+x^2+2x+1+1}{2x+1}\)

\(=x^2+1+\dfrac{1}{2x+1}\)

Để đó là số nguyên thì \(1⋮2x+1\)

\(\Leftrightarrow2x+1\in\left\{1;-1\right\}\)

\(\Leftrightarrow2x\in\left\{0;-2\right\}\)

hay \(x\in\left\{0;-1\right\}\)

Để B nguyên thì \(x^2-2x+4⋮x-2\)

=>\(x-2\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

=>\(x\in\left\{3;1;4;0;6;-2\right\}\)

Lời giải:
Ta có: $B=\frac{x(x-2)+4}{x-2}=x+\frac{4}{x-2}$

Với $x$ nguyên, để $B$ nguyên thì $\frac{4}{x-2}$ nguyên.

Vì $x-2$ nguyên nên $\frac{4}{x-2}$ nguyên khi mà $x-2$ là ước của $4$

$\Rightarrow x-2\in\left\{\pm 1; \pm 2; \pm 4\right\}$

$\Rightarrow x\in\left\{3; 1; 0; 4; 6; -2\right\}$

Ta có A : B

Để giá trị của đa thức A = 2 x 3   –   3 x 2 + 2x + 2 chia hết cho giá trị của đa thức B = x 2   + 1 thì

5 ⁝ ( x 2 + 1)

Hay ( x 2 + 1) Є U(5) = {-1; 1; -5; 5}

+) x 2 + 1 = -1 ó x 2 = -2 (VL)

+) x 2 + 1 = 1 ó x 2 = 0ó x = 0 (tm)

+) x 2 + 1 = -5 ó x 2 = -6 (VL)

+) x 2 + 1 = 5 ó x 2 = 4 ó x = ± 2 ™

Vậy có 3 giá trị của x thỏa mãn đề bài là x = 0; x = -2; x = 2

Đáp án cần chọn là: A

\(A=\left(2x+1\right)\left(x^2+1\right)+\dfrac{4}{2x+1}\) (chia đa thức)

Để A nguyên \(\Rightarrow4⋮2x+1\Rightarrow\left(2x+1\right)=\left\{-4;-2;-1;1;2;4\right\}\)

\(\Rightarrow x=\left\{-\dfrac{5}{2};-\dfrac{3}{2};-1;0;\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right\}\)

x thỏa mãn đk đề bài là \(x=\left\{-1;0\right\}\)

a: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};-2\right\}\)

b: \(B=\dfrac{4x^2+4x+1-4-4x^2+4x-1}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\cdot\dfrac{2x+1}{x+2}\)

\(=\dfrac{8x-4}{2x-1}\cdot\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{4}{x+2}\)

\(B=\dfrac{-2x+24+16}{2x-24}=-1+\dfrac{16}{2x-24}=-1+\dfrac{8}{x-12}\)

Để B có giá trị nhỏ nhất thì x-12=-1

=>x=11