Cho a,b,c là 3 số dương cho trước còn x,y,z là ba số dương thay đổi, luôn luôn thỏa mãn ĐK : \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=1\)
1. Cho a, b, c, d, p, q là 5 số dương tùy ý . Chứng minh
\(\frac{a}{pb+qc}+\frac{b}{pc+qa}+\frac{c}{pa+qb}\ge\frac{3}{p+q}\)
2. Cho a, b, c là ba số dương cho trước, còn x, y, z là ba số dương thay đổi, luôn luôn thỏa mãn điều kiện :
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=1\)
Tìm GTLN của tổng S = x + y + z
dcv_new
\(\Sigma\frac{a^2}{pab+qca}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(p+q\right)\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3}{p+q}\)
2, ta có \(\sqrt{a}=\sqrt{\frac{a}{x}}\cdot\sqrt{x}\)
vậy ta được \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=\left(\sqrt{\frac{a}{x}}\cdot\sqrt{x}+\sqrt{\frac{b}{y}}\cdot\sqrt{y}+\sqrt{\frac{c}{z}}\cdot\sqrt{z}\right)^2\le\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\left(x+y+z\right)=S\)
dấu đẳng thức xảy ra khi \(\sqrt{x}:\sqrt{\frac{a}{x}}=\sqrt{y}:\sqrt{\frac{b}{y}}=\sqrt{z}:\sqrt{\frac{c}{z}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=1\\\frac{x}{\sqrt{a}}=\frac{y}{\sqrt{b}}=\frac{z}{\sqrt{c}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};y=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};z=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
vậy min (x+y+z)=\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\)
À nhầm đề 1 tí . Sửa thành a, b, c , p , q
Đánh máy nhanh quá nên nhầm xíu =)
a) Cho a, b, c là ba số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thỏa mãn: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\) hỏi a + b có là số chính phương không? vì sao?
b) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: z ≥ 60, x + y + z = 100. Tìm GTLN của A = xyz
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow\left(a+b\right)c=ab\Leftrightarrow ab-bc-ab=0\)
Hay \(ab-bc-ab+c^2=c^2\Leftrightarrow\left(b-c\right)\left(a-c\right)=c^2\)
Nếu \(\left(b-c;a-c\right)=d\ne1\Rightarrow c^2=d^2\left(loai\right)\)
Vậy \(\left(b-c;a-c\right)=1\Rightarrow c-b;c-a\) là 2 số chính phương
Đặt \(b-c=n^2;a-c=m^2\)
\(\Rightarrow a+b=b-c+a-c+2c=m^2+n^2+2mn=\left(m+n\right)^2\) là số chính phương
Giải hộ mình mấy bài này với:
1)cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng :
\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le\frac{3}{2}\)
2)Cho 3 số x,y,z khác không thỏa mãn:\(\hept{\begin{cases}x+y+z=2010\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2010\end{cases}}\)
Chứng minh rằng trong 3 số x,y,z luôn tồn tại 2 số đối nhau.
(Thái Bình)
Cho \(x,y,z\) là ba số dương thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện \(x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)+z\left(z+1\right)\le18\).
Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\).
Cho x,y,z là các số dương thay đổi và luôn thỏa mãn điều kiện xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)
Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)
Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1
1. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=1. TÌM GTNN của biểu thức: A=\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
2. Cho a, b,c>0 và a+b+c=3. Tìm GTNN của biểu thức S=\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\).
3. CHo x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn đk: x+y+z≤ 6.
CM: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) ≥ \(\frac{3}{2}\).
4. Cho 4 số dương a, b,c, d . CMR \(a^4+b^4+c^4+d^4\) ≥ 4abcd.
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)(x+y+z)\geq (1+1+1)^2\)
\(\Leftrightarrow A.1\geq 9\Leftrightarrow A\geq 9\)
Vậy GTNN của $A$ là $9$. Giá trị này đạt được tại $x=y=z=\frac{1}{3}$
Bài 2:
Hoàn toàn tương tự bài 1
$S(a+b+c)\geq (1+1+1)^2$ theo BĐT Bunhiacopxky
$\Leftrightarrow S.3\geq 9\Rightarrow S\geq 3$
Vậy GTNN của $S$ là $3$ khi $a=b=c=1$
Bài 3:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky như các bài trên ta có:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$
Mà $0< x+y+z\leq 6$ nên $\frac{9}{x+y+z}\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$
Do đó $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=2$
Bài 4:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
$a^4+b^4+c^4+d^4\geq 4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=d>0$
Cho x,y,z là các số nguyên dương và x+y+z là các số lẻ, các số thực a,b,c thỏa mãn :\(\frac{a-b}{x}=\frac{b-c}{y}=\frac{a-c}{z}\)
CMR: a=b=c
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{a-b}{x}=\frac{b-c}{y}=\frac{a-c}{z}=\frac{a-b+b-c-a+c}{x+y-z}=\frac{0}{x+y-z}=0\)
\(\Rightarrow\frac{a-b}{x}=0\Leftrightarrow a-b=0\Leftrightarrow a=b\)
\(\frac{b-c}{y}=0\Leftrightarrow b-c=0\Leftrightarrow b=c\)
\(\frac{a-c}{z}=0\Leftrightarrow a-c=0\Leftrightarrow a=c\)
\(\Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)
Cho x,y,z là các số nguyên dương và x+y+z là số lẻ, các số thực a,b,c thỏa mãn \(\frac{a-b}{x}=\frac{b-c}{y}=\frac{a-c}{z}\) .Chứng minh rằng a=b=c
Áp dụng TCDTSBN ta có :
\(\frac{a-b}{x}=\frac{b-c}{y}=\frac{a-c}{z}=\frac{\left(a-b\right)+\left(b-c\right)-\left(a-c\right)}{x+y-z}=\frac{0}{x+y-z}=0\)
\(\Rightarrow\frac{a-b}{x}=0\Rightarrow a-b=0\Rightarrow a=b\) (1)
\(\Rightarrow\frac{b-c}{y}=0\Rightarrow b-c=0\Rightarrow b=c\) (2)
\(\Rightarrow\frac{a-c}{z}=0\Rightarrow a-c=0\Rightarrow a=c\) (3)
Từ (1);(2) và (3) \(\Rightarrow a=b=c\) (đpcm)
Cho x,y,z là các số dương thay đổi thỏa mãn : x+y+z=3
Tìm GTNN của biểu thức T=\(x^5+y^5+z^5+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Tham khảo link này nha
https://olm.vn/hoi-dap/detail/243232541423.htm