1 

Ez lắm =)

Bài 1:

Với mọi gt \(x,y\in Q\) ta luôn có: 

\(x\le\left|x\right|\) và \(-x\le\left|x\right|\) 

\(y\le\left|y\right|\) và \(-y\le\left|y\right|\Rightarrow x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\) và \(-x-y\le\left|x\right|+\left|y\right|\)

Hay: \(x+y\ge-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)

Do đó: \(-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\le x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\)

Vậy: \(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(xy\ge0\)

Bài 3: 

Ta có: \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\) (vì a + b + c = 1)

Do đó: \(\left(x+y+z\right)^2=\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\) (vì a² + b² + c² = 1)

Vậy: (x + y + z)² = x² + y² + z²

a)Nhận xét:

\(x^2;\left(y+\frac{1}{10}\right)^4\ge0\) nên tổng chúng bằng 0 khi cả 2 bằng 0

<=> \(x=0;y=-\frac{1}{10}\)

b) \(\left(\frac{1}{2}x-5\right)^{20}+\left(y^2-\frac{1}{4}\right)^{10}\ge0\) nên không tìm được giá trị x và y thoả mãn đề bài.

a)Như ta đã thấy:

\(x^2;\left(y+\frac{1}{10}\right)^4\ge0\) Nên tổng trên = 0 khi 2 số hạng bằng 0

=> x=  0 và y = -1/10

b) vì: 

\(\left(\frac{1}{2}x-5\right)^{20}+\left(y^2-\frac{1}{4}\right)^{10}\ge0\)

a/ Ta luôn có : \(\begin{cases}x^2\ge0\\\left(y-\frac{1}{10}\right)^4\ge0\end{cases}\)\(\Rightarrow x^2+\left(y-\frac{1}{10}\right)^4\ge0\)

Để dấu "=" xảy ra thì x = 0 , y = 1/10

b/ Tương tự.

nhầm a, \(x^2+\left(9-\frac{1}{10}\right)^2=0\)

\(a;x^2+\left(9-\frac{1}{10}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{89^2}{100}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2=-\frac{7921}{100}\)

Mà\(x^2\ge0\Rightarrow x\in\varnothing\)

\(a,x^2+\left(9+\frac{1}{10}\right)^2=0\)

\(\Rightarrow x^2+\left(\frac{91}{10}\right)^2=0\)

\(\Rightarrow x^2+\frac{91^2}{10^2}=0\)

\(\Rightarrow x^2+\frac{8281}{100}=0\)

\(\Rightarrow x^2=-\frac{8281}{100}\)

Mà x² \(\ge\)0 với mọi x

=> \(x\in\varnothing\)

b) \(\left(\frac{1}{2}x-5\right)^{20}+\left(y^2-\frac{1}{4}\right)^{10}\le0\)

\(\text{Ta có : }\left(\frac{1}{2}x-5\right)^{20}\ge0\forall x\)

\(\left(y^2-\frac{1}{4}\right)^{10}\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2}x-5\right)^{20}+\left(y^2-\frac{1}{4}\right)^{10}\ge0\forall x;y\)

\(\text{mà }\left(\frac{1}{2}x-5\right)^{20}+\left(y^2-\frac{1}{4}\right)^{10}\le0\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2}x-5\right)^{20}+\left(y^2-\frac{1}{4}\right)^{10}=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(\frac{1}{2}x-5\right)^{20}=0\\\left(y^2-\frac{1}{4}\right)^{10}=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{2}x-5=0\\y^2-\frac{1}{4}=0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}\frac{1}{2}x=5\\y^2=\frac{1}{4}\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=10\\y=\pm\frac{1}{2}\end{cases}}}\)

Vậy các cặp (x;y) thỏa mãn là : \(\left(10;\frac{1}{2}\right);\left(10;\frac{-1}{2}\right)\)

1.

\(10x=|x+\dfrac{1}{10}|+|x+\dfrac{2}{10}|+...+|x+\dfrac{9}{10}| \ge 0\)

\(\Rightarrow x\ge0\)

\(pt\Leftrightarrow x+\frac{1}{10}+x+\frac{2}{10}+...+x+\frac{9}{10}=10x\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{10}+\frac{2}{10}+...+\frac{9}{10}=\frac{9}{2}\)

\(\Rightarrow x=\frac{9}{2}\)

4.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

\(\frac{a}{b+3c}=\frac{b}{c+3a}=\frac{c}{a+3b}=\frac{a+b+c}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a=b+3c\left(1\right)\\4b=c+3a\left(2\right)\\4c=a+3b\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow4a=b+3\left(4b-3a\right)\)

\(\Rightarrow12a=12b\Rightarrow a=b\left(4\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(3\right)\Rightarrow4c=a+3\left(4a-3c\right)\)

\(\Rightarrow12a=12c\Rightarrow a=c\left(5\right)\)

Từ \(\left(4\right);\left(5\right)\Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)

a, \(M=\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{4^n}\)

\(\Rightarrow4M=1+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4^{n-1}}\)

\(\Rightarrow3M=1-\frac{1}{4^n}< 1\Rightarrow M< \frac{1}{3}\left(đpcm\right)\)

b, Lập luận tương tự câu a

\(M=\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{4^n}\)

\(\Rightarrow4M=1+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4^{n-1}}\)

\(\Rightarrow3M=1-\frac{1}{4^n}< 1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\Rightarrow M< \frac{4}{9}\left(đpcm\right)\)