1) Đề sai, thử với x = -2 là thấy không thỏa mãn.

Giả sử cho rằng với đề là x không âm thì áp dụng BĐT Cauchy:

\(A=\)\(\frac{2x}{3}+\frac{9}{\left(x-3\right)^2}=\frac{x-3}{3}+\frac{x-3}{3}+\frac{9}{\left(x-3\right)^2}+2\)

\(A\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(x-3\right).\left(x-3\right).9}{3.3.\left(x-3\right)^2}}+2=3+2=5>1\)

Không thể xảy ra dấu đẳng thức.

\(a^2+b^2=a^2-2ab+b^2+2ab=\left(a-b\right)^2+2ab\)

Vì  \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2+2ab\ge2ab\left(dpcm\right)\)

xí câu 1:))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)

Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )

Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2

a) Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)

b) Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:

\(\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c=6\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)

Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-a-b-c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}+a+b+c\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2+b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2+c+\frac{1}{4}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-a-b-c\)

b ) chuyển vế tương tự

Lời giải:
a. Áp dụng BĐT Cô-si:

$\frac{1}{a}+\frac{a}{4}\geq 1$

$\frac{1}{b}+\frac{b}{4}\geq 1$

$\frac{1}{c}+\frac{c}{4}\geq 1$

Cộng theo vế:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{a+b+c}{4}\geq 3$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{6}{4}\geq 3$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{2}$ (đpcm) 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$
b.

Áp dụng BĐT Cô-si:

$\frac{a^2}{c}+c\geq 2a$

$\frac{b^2}{a}+a\geq 2b$

$\frac{c^2}{b}+b\geq 2c$

$\Rightarrow \frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+(c+a+b)\geq 2(a+b+c)$

$\Rightarrow \frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\geq a+b+c=6$ (đpcm) 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$