Cho tam giác abc có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Trên cạnh BC lấy điểm d d khác B phẩy C sao cho đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt cung nhỏ AC tại đường tròn tâm O tại M Gọi E là hình chiếu của M trên AC
a Chứng minh tứ giác CDME nội tiếp đường tròn
b/chứng minh MA x MB = MB x ME
C/Gọi i k lần lượt là trung điểm của AB và de chứng minh EK vuông góc với MK
a, Xét tứ giác CDME có
^MEC = ^MDC = 900
mà 2 góc này kề, cùng nhìn cạnh MC
Vậy tứ giác CDME là tứ giác nt 1 đường tròn
b, bạn ktra lại đề
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O). Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt cung nhỏ AC tại đường tròn tâm (O) tại M. Gọi E là hình chiếu của M trên AC.
a) Chứng minh tứ giác CDEM nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh: MA.MD=MB.ME.
a: góc CDM=góc CEM=90 độ
=>CDEM nội tiếp
b: Xet ΔMEA vuông tại E và ΔMDB vuông tại D có
góc EMA chung
=>ΔMEA đồng dạng với ΔMDB
=>ME/MD=MA/MB
=>ME*MB=MA*MD
a. góc CDM=góc CEM=90 độ
=>CDEM nội tiếp
b. Xet ΔMEA vuông tại E và ΔMDB vuông tại D có
góc EMA chung
=>ΔMEA đồng dạng với ΔMDB
=>ME/MD=MA/MB
=>ME*MB=MA*MD
Cho tam giác ABC có AB > AC > BC. trên các cạnh AB, AC lấy lần lượt hai điểm M và N Sao cho BM = BC = CN. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. AI cắt đường tròn ngoại tiếp các tam giác ANM và ABC lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh tứ giác AMIC nội tiếp.
b) So sánh IE và IF
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), có đường cao AH, gọi M,N lần lượt là hình chiếu của H trên AB,AC. MN cắt (O) tại D, cắt BC tại K. Gọi I là trung điểm AH, IK cắt AB, AC lần lượt tại E và F.
CM tứ giác BMCN nội tiếp
Tam giác ADH cân
I là trung điểm EF
a: ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao
nên AM*AB=AH^2
ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao
nên AN*AC=AH^2
=>AM*AB=AN*AC
=>AM/AC=AN/AB
=>góc AMN=góc ACB
=>góc NMB+góc NCB=180 độ
=>NMBC nội tiếp
b: kẻ đường kính AL
góc ACL=90 độ
AC*AN=AH^2
ΔAIN đồng dạng với ΔACE
=>AI/AC=AN/AE
=>AI*AE=AH^2
góc ADE=90 độ
=>ΔADE vuông tại D
=>AI*AE=AD^2=AH^2
=>AD=AH
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các
cạnh BC và AC. Đường thẳng MN cắt cung nhỏ BC của đường tròn O tại P.
a) Chứng minh rằng tứ giác OMCN nội tiếp.
b) Gọi D là điểm bất kỳ trên AB D A D B , . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BPD cắt cạnh BC tại điểm
I khác B K; là giao điểm của hai đường thẳng DI và AC. Chứng minh rằng PK PB PC PD .
c) Gọi G là giao điểm khác P của AP với đường tròn ngoại tiếp tam giác BPD, đường thẳng IG cắt AB tại
E. Chứng minh rằng D di chuyển trên cạnh AB thì tỉ số AD
AE không đổi.
a: ΔOBC cân tại O
mà OM là trung tuyến
nên OM vuông góc BC
ΔOAC cân tại O
mà ON là trung tuyến
nên ON vuông góc AC
Vì góc OMC+góc ONC=180 độ
nên OMCN nội tiếp
Cho tam giác nhọn ABC ( AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho EM=EC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại N ( N khác B). Các đường thẳng EA và EN cắt cạnh BC lần lượt tại D và F.
a) Chứng minh tam giác AEN đồng dạng với tam giác FED
b) Chứng minh M là trực tâm của tam giác AEN
c) Gọi I là trung điểm của AN, tia IM cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh đường thẳng CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK
Em không vẽ được hình, xin thông cảm
a, Ta có góc EAN= cungEN=cung EC+ cung EN
Mà cung EC= cung EB(E là điểm chính giữa cung BC)
=> góc EAN=cungEB+ cung EN=góc DFE (tính chất góc ở giữa)
=> tam giác AEN đồng dạng tam giác FED
Vậy tam giác AEN đồng dạng tam giác FED
b,Ta có EC=EB=EM
Tam giác EMC cân tại E => EMC=ECM
MÀ EMC+AME=180, ECM+ABE=180
=> AME = ABE
=> tam giác ABE= tam giác AME
=> AB=AM => tam giác ABM cân tại A
Mà AE là phân giác => AE vuông góc BM
CMTT => AC vuông góc EN
MÀ AC giao BM tại M
=> M là trực tâm tam giác AEN
Vậy M là trực tâm tam giác AEN
c, Gọi H là giao điểm OE với đường tròn (O) (H khác E) => O là trung điểm của EH
Vì M là trực tâm của tam giác AEN
=> \(EN\perp AN\)
Mà \(OI\perp AN\)(vì I là trung điểm của AC)
=> \(EN//OI\)
MÀ O là trung điểm của EH
=> I là trung điểm của MH (đường trung bình trong tam giác )
=> tứ giác AMNH là hình bình hành
=> AH=MN
Mà MN=NC
=> AH=NC
=> cung AH= cung NC
=> cung AH + cung KC= cung KN
Mà cung AH+ cung KC = góc KMC(tính chất góc ở giữa 2 cung )
NBK là góc nội tiếp chắn cung KN
=> gócKMC=gócKBN
Hay gócKMC=gócKBM
=> CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK( ĐPCM)
Vậy CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK
Anh Khang nè,e cung cấp hình nha:3
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Điểm M thuộc cung nhỏ BC, vẽ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với AB, BC, AC tại D, E, F.
a) CM: Tứ giác MEFC nội tiếp và góc DBM= góc DEM
b) CM: 3 điểm D, E, F thẳng hàng và MB.MF=MD.MC
c) Gọi V là trực tâm của tam giác ABC. Tia BV cắt (O) tại R. CM: Góc FRV=góc FVR. Từ đó suy ra DE đi qua trung điểm của VM
a. xét MEFC có:
∠MEC=90 (ME⊥BC)
∠MFC=90 (MF⊥AC)
⇒∠MEC=∠MFC=90
⇒tứ giác MEFC nội tiếp
xét tứ giác DBEM có
∠BDM+∠BEM=180
⇒ tứ giác DBEM nội tiếp⇒∠DBM=∠DEM
b.tứ giác ABMC nội tiếp (O)⇒∠DBM=∠ACM
⇒∠DEM=∠ACM
do ∠DEM+∠ACM=180
⇒∠DEM+∠MEF=180 hay D,E,F thẳng hàng
xét ΔMBD và ΔMCF có
∠D=∠F=90; ∠MBD=∠MDF(cmt)
⇒ΔMBD ∼ ΔMCF (g.g)
⇒\(\dfrac{MB}{MD}=\dfrac{MC}{MF}\)⇒MB.MF=MD.MC
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), D là 1 điểm trên cạnh BC ( D khác B và C). Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,AC. Đường thẳng MN cắt (O) tại các điểm P,Q (P,Q lần lượt thuộc cung AB và cung AC). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB tại I (khác B). Các đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K.
a) C/m: Tứ giác AIPK nội tiếp và \(\frac{PK}{PD}=\frac{QB}{QA}\).
b) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G (khác P). Đường thẳng IG cắt đường thẳng BC tại E. Cmr khi D di chuyển trên BC thì \(\frac{CD}{CE}\)không đổi.
Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao AH, gọi M và N lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC
a, Cm: Tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn
b, tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB
c, Đường thẳng NM cắt đường thằng BC tại Q. Gọi AQ cắt (O) tại điểm R khác điểm A và điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB. Chứng minh QH^2 = QB.QC và ba điểm R, H, I thẳng hàng
a, Vì HM là đường cao => \(HM\perp AB\)=> ^HMA = 900
Vì HN là đường cao => \(HN\perp AC\)=> ^HNA = 900
Xét tứ giác AMHN có :
^HMA + ^HNA = 900
mà ^HMA ; ^HNA đối nhau
Vậy tứ giác AMHN nội tiếp
b, Xét tam giác ABH vuông tại H, đường cao HM ta có :
\(AH^2=AM.AB\)(1)
Xét tam giác ACH vuông tại H, đường cao HN ta có :
\(AH^2=AN.AC\)(2)
từ (1) ; (2) suy ra : \(AM.AB=AN.AC\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)
Xét tam giác AMN và tam giác ACB ta có :
^A chung
\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)( cmt )
Vậy tam giác AMN ~ tam giác ACB ( c.g.c )
c, ^QMB = ^AMN (đối đỉnh)
AMHN nt => ^AMN = ^AHN (2 góc nt ...)
=> ^AHN = ^QMB
có ^AHN + ^AHQ = ^NHQ
^QMB + ^BMh = ^QMH
^ahq = ^bmh = 90
=> ^nhq = ^qmh
Xét tg QMH và tg QHN có NHQ chung
=> tg qmh đồng dạng tg qhn (gg)
=> qm/qh = qh/qn
=> qm.qn = qh^2 (1)
xét tg amn đồng dạng tg acb (caaub ) => amn = acb mà amn = qmb (đoi dinh )
=> acb = qmb
xet tg qmb va tg qnc có cqn chung
=> tg qmb đồng dạng cqn (g-g)
=> qb/qn = qm/qc
=> qn.qm = qb.qc (2)
(1)(2) => qb.qc = qh^2
ý 2 tí nữa
