Ta có: \(12=a+b+2ab\ge2ab+2\sqrt{ab}\Rightarrow0< ab\le4\)

Chú ý: \(2ab=12-a-b\) . Do đó:

\(A=\frac{2a^2+2ab}{2a+4b}+\frac{2b^2+2ab}{4a+2b}\)

\(=\frac{2\left(a^2+4\right)+4-a-b}{2a+4b}+\frac{2\left(b^2+4\right)+4-a-b}{4a+2b}\)

\(\ge\frac{7a-b+4}{2a+4b}+\frac{7b-a+4}{4a+2b}=\frac{7\left(a-b\right)^2+108\left(4-ab\right)}{6\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)}+\frac{8}{3}\ge\frac{8}{3}\)

P/s: Em chưa check lại đâu, anh tự check đi:D Và chú ý cái dấu "=" cuối cùng của em chỉ đúng khi a + b +2ab = 12.

Cách khác:

Dễ thấy \(0< ab\le4\) (như bài trên)

\(A-\frac{8}{3}=\frac{2\left(a-2\right)^2}{2a+4b}+\frac{2\left(b-2\right)^2}{4a+2b}+\frac{7\left(a-b\right)^2+108\left(4-ab\right)}{6\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)}\ge0\)

P/s: Nếu bài trên đúng thì bài này đúng, bài trên sai thì bài này sai, vì bài này được suy ra từ bài trên:v

a, b, c > 0 mà sao abc = 0 được vậy nhỉ:))

#)Góp ý :

Nguyễn Khang chuẩn :v

Rõ bảo mong k muốn ai thấy nick này mak cứ ló mặt ra lm chi ???

Lấy nick tth_new có ph nhanh hơn k ^^

Lời giải:

\(A=\frac{a(a+b)}{a+2b}+\frac{b(b+a)}{2a+b}=(a+b)\left(\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{2a+b}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz và AM-GM:

\(\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{2a+b}=\frac{a^2}{a^2+2ab}+\frac{b^2}{2ab+b^2}\geq \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2+2ab}\geq \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2+\frac{(a+b)^2}{2}}=\frac{2}{3}\)

Do đó:

\(A\geq \frac{2(a+b)}{3}\)

Cũng theo BĐT AM-GM: \(12=a+b+2ab\leq a+b+\frac{(a+b)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^2+2(a+b)-24\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (a+b-4)(a+b+6)\geq 0\Rightarrow a+b\geq 4\)

\(\Rightarrow A\geq \frac{2}{3}(a+b)\geq \frac{8}{3}\)

Vậy \(A_{\min}=\frac{8}{3}\Leftrightarrow a=b=2\)

Lời giải:

$A=\frac{a(a+2b)-ab}{a+2b}+\frac{b(2a+b)-ab}{2a+b}$

$=a+b-\left(\frac{ab}{a+2b}+\frac{ab}{2a+b}\right)$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\frac{ab}{a+2b}+\frac{ab}{2a+b}\leq \frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)+\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{a+b}{3}$

$\Rightarrow A\geq \frac{2}{3}(a+b)$

Mà:

$12=a+b+2ab\leq a+b+\frac{(a+b)^2}{2}$ (theo BĐT AM-GM)
$\Leftrightarrow (a+b)^2+2(a+b)-24\geq 0$

$\Leftrightarrow (a+b+6)(a+b-4)\geq 0$

$\Rightarrow a+b\geq 4$

Do đó: $A\geq \frac{2}{3}(a+b)\geq \frac{8}{3}$

Vậy $A_{\min}=\frac{8}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2$