\(x=3\sqrt{3}-2\Leftrightarrow x+2=3\sqrt{3}\Rightarrow\left(x+2\right)^2=\left(3\sqrt{3}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+4x+4=27\Leftrightarrow x^2+4x-23=0\)

Vậy \(f\left(x\right)=x^2+4x-23\)là một đa thức thỏa mãn ycbt. 

Bậc nhỏ nhất của đa thức \(P\left(x\right)\)là \(3.2=6\).

\(x=\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow x-\sqrt{2}=\sqrt[3]{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{2}\right)^3=2\)

\(\Leftrightarrow x^3-3\sqrt{2}x^2+6x-2\sqrt{2}=2\)

\(\Leftrightarrow x^3+6x-2=3\sqrt{2}x^2+2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3+6x-2\right)^2=2\left(3x^2+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^6+36x^2+4+12x^4-24x-4x^3=18x^4+24x^2+8\)

\(\Leftrightarrow x^6-6x^4-4x^3+12x^2-24x-4=0\)

\(P\left(x\right)=x^6-6x^4-4x^3+12x^2-24x-4\)

Nếu đa thức trên có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm có có dạng \(\frac{p}{q}\)với \(p\)là ước của \(-4\)và \(q\)là ước của \(1\).

Nên có thể là các giá trị \(\left\{-4,-2,-1,1,2,4\right\}\). 

Ta thử các giá trị trên đều thấy không phải là nghiệm của \(P\left(x\right)\).

Do đó đa thức đó không có nghiệm hữu tỉ. 

Xét f(x) là hằng số thì \(f\left(x\right)\equiv0\).

Xét f(x) khác hằng.

Ta có \(a^2=\sqrt{\dfrac{3}{4}}+\sqrt{\dfrac{4}{3}}+2\Rightarrow a^2-2=\sqrt{\dfrac{3}{4}}+\sqrt{\dfrac{4}{3}}\)

\(\Rightarrow\left(a^2-2\right)^2=\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{3}+2=\dfrac{49}{12}\Rightarrow a^4-4a^2-\dfrac{1}{12}=0 \).

Bằng cách đồng nhất hệ số, dễ dàng chứng minh được đa thức \(P\left(x\right)=x^4-4x^2-\dfrac{1}{12}\) bất khả quy trên \(\mathbb{Q}[x]\).

Do đó ta có P(x) là đa thức tối tiểu của a, tức mọi đa thức hệ số hữu tỉ khác nhận a là nghiệm đều chia hết cho P(x).

Vì f(x) là đa thức hệ số nguyên nên \(f\left(x\right)\) chia hết cho \(12P\left(x\right)=12x^4-48x^2-1\).

Vậy \(f\left(x\right)=K\left(x\right)\left(12x^4-48x^2-1\right)\), với \(K\in\mathbb Z[x]\) bất kì.