2.Áp dụng tc dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a+b+c}{a+b-c}=\frac{a-b+c}{a-b-c}=\frac{a+b+c-a+b-c}{a+b-c-a+b+c}=\frac{2b}{2b}=1\)

\(\Rightarrow a+b+c=a+b-c\)

\(\Rightarrow a+b+c-a-b+c=0\)

\(\Rightarrow2c=0\)

\(\Rightarrow c=0\)

Vậy c=0

BT5: Ta có: f(1)=1.a+b=1 =>a+b=1 (1)

f(2)=2a+b=4 (2)

Trừ (1) cho (2) ta có: 2a+b-a-b=4-1 => a=3

Với a=3 thay vào (1) ta có: 3+b=1 => b=-2

Vậy a=3, b=-2

Cảm ơn các bạn nhiều!!

Áp dụng đẳng thức sau (có thể chứng minh bằng cách nhân tung rút gọn):

\(a^n-1=\left(a-1\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a^1+1\right)\)

Áp dụng với \(a=x;\text{ }a=\frac{1}{x}...\)

nhờ thằng lắm chuyện nó giải giùm cho

+) Nhận xét: Nếu a + b = 1 thì f(a) +f(b) = 1. Thật vậy:

Ta có: f(a) + f(b) = \(\frac{100^a}{100^a+10}+\frac{100^b}{100^b+10}=\frac{100^{a+b}+10.100^a+100^{b+a}+10.100^b}{\left(100^a+10\right)\left(100^b+10\right)}\)

\(=\frac{100^1+10.\left(100^a+100^b\right)+100^1}{100^{a+b}+10.\left(100^a+100^b\right)+100}=\frac{200+10.\left(100^a+100^b\right)}{200+10.\left(100^a+100^b\right)}=1\)

+) Áp dụng: 

 \(f\left(\frac{1}{2015}\right)\) + \(f\left(\frac{2}{2015}\right)\)+ \(f\left(\frac{3}{2015}\right)\)+ ... + \(f\left(\frac{2014}{2015}\right)\)

= \(\left[f\left(\frac{1}{2015}\right)+f\left(\frac{2014}{2015}\right)\right]+\left[f\left(\frac{2}{2015}\right)+f\left(\frac{2013}{2015}\right)\right]+...+\left[f\left(\frac{1007}{2015}\right)+f\left(\frac{1008}{2015}\right)\right]\)

= 1 + 1 + ...+ 1 (có 2014 : 2 = 1007 số 1)

= 1007

Lời giải:

Ta có:

\(f(x)=x\left(\frac{x^{2013}}{3}-\frac{x^{2014}}{5}+\frac{x^{2015}}{7}+\frac{x^2}{2}\right)-\left(\frac{x^{2014}}{3}-\frac{x^{2015}}{5}+\frac{x^{2016}}{7}+\frac{x^2}{2}\right)\)

\(f(x)=\frac{x^{2014}}{3}-\frac{x^{2015}}{5}+\frac{x^{2016}}{7}+\frac{x^3}{2}-\left(\frac{x^{2014}}{3}-\frac{x^{2015}}{5}+\frac{x^{2016}}{7}+\frac{x^2}{2}\right)\)

\(f(x)=\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{2}=\frac{x^2(x-1)}{2}\)

Với mọi giá trị nguyên của $x$ thì $(x-1)x$ là tích của hai số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho $2$

Do đó: \(x^2(x-1)\vdots 2\Rightarrow f(x)=\frac{x^2(x-1)}{2}\in\mathbb{Z}\) với mọi gt nguyên của $x$ (đpcm)

thay x=2014 vào ta có:

f(2014)=2014²⁰¹⁴-2015.2014²⁰¹³+2015.2014²⁰¹²-2015.2014²⁰¹¹+...-2015.2014+2015

=2014²⁰¹⁴-(2014+1)2014²⁰¹³+(2014+1).2014²⁰¹²-(2014+1).2014²⁰¹¹+...-(2014+1).2014+2014+1

=2014²⁰¹⁴-2014²⁰¹⁴-2014²⁰¹³+2014²⁰¹³+2014²⁰¹²-2014²⁰¹²-2014²⁰¹¹+...-2014²-2014+2014+1

=1

Bổ sung :

➤ Bài 1 :

c/ Tính f(5)

Sửa bài 2 : Tính giá trị của biểu thức M = 4 (a - b) (b - c) = (c - a)².