MP=4cm

\(\widehat{N}=53^0;\widehat{P}=37^0\)

Hình tự vẽ :(
Gọi \(Q\) là giao điểm của \(HK\) và \(MN\)
\(\Rightarrow KQ\) là đường trung tuyến của \(\Delta MNK\Rightarrow QM=QN\)
Xét \(\Delta MNI\) và \(\Delta KNM\) \(\left(\widehat{M}=\widehat{K}=90^o\right)\)
ta có: \(\widehat{N}\) là góc chung
\(\Rightarrow\Delta MNI\sim\Delta KNM\) \(\left(g-g\right)\)
mà \(\Delta KNM\) là tam giác vuông cân tại \(\widehat{K}\) \(\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta MNI\) là tam giác vuông cân tại \(\widehat{M}\)
\(\Rightarrow MN=MI\) \(\Rightarrow MI=5\)
mà \(MK\) là đường cao của \(\Delta MNI\) 
\(\Rightarrow MK\) cũng là trung tuyến của \(\Delta MNI\)
\(\Rightarrow KN=KI\)
Xét \(\Delta MNI\) ta có:
\(QN=QM\) \(\left(cmt\right)\)
\(KN=KI\) \(\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow QK\) là đường trung bình của \(\Delta MNI\)
\(\Rightarrow QK=\dfrac{MI}{2}=\dfrac{5}{2}\)
Xét \(\Delta MNP\) ta có:
\(QN=QM\) \(\left(cmt\right)\)
\(HN=HP\) (\(H\) là trung điểm của \(NP\))
\(\Rightarrow QH\) là đường trung bình của \(\Delta MNP\)
\(\Rightarrow QH=\dfrac{MP}{2}=\dfrac{13}{2}\)
Ta có \(QH=QK+HK\)
\(\Rightarrow HK=QH-QK=\dfrac{13}{2}-\dfrac{5}{2}=4\)
Vậy \(HK=4\)

a) Xét ΔNAM vuông tại M và ΔNDA vuông tại D có 

NA chung

NA=ND(gt)

Do đó: ΔNAM=ΔNDA(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒\(\widehat{MNA}=\widehat{DNA}\)(hai góc tương ứng)

mà tia NA nằm giữa hai tia NM,NDnên NA là tia phân giác của \(\widehat{NMD}\)hay NA là tia phan giác của \(\widehat{NMP}\)(đpcm)b) Xét ΔNMD có NM=ND(gt)nên ΔNMD cân tại N(Định nghĩa tam giác cân)Xét ΔNMD cân tại N có \(\widehat{MND}=60^0\)(gt)nên ΔNMD đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)c) Ta có: ΔNMP vuông tại M(gt)nên \(\widehat{NMP}+\widehat{MPN}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)\(\Leftrightarrow\widehat{MPN}=90^0-\widehat{NMP}=90^0-60^0=30^0\)(1)Ta có: NA là tia phân giác của \(\widehat{MNP}\)(cmt)nên \(\widehat{PNA}=\dfrac{\widehat{MNP}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)(2)Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{APN}=\widehat{ANP}\)Xét ΔANP có \(\widehat{APN}=\widehat{ANP}\)(cmt)nên ΔANP cân tại A(Định lí đảo của tam giác cân)Ta có: ΔANP cân tại A(gt)mà AD là đường cao ứng với cạnh đáy NP(gt)nên AD là đường trung tuyến ứng với cạnh NP(Định lí tam giác cân)hay D là trung điểm của NP(đpcm)

6 cm²

Tam giác MNP vuông cân tại N

Tam giác MNP vuông cân tại N

ý thứ tư đúng ko?

ΔMNP vuông tại M (gt)

=> MN² + MP² = PN² (Pytago)

PN = 15 cm (gt)

=> MN² + MP² = 15² = 225

Có : MN : MP = 3/4 (Gt)

=> MN/3 = MP/4

=> MN^2/9 = MP^2/16

=> MN^2 + MP^2/9+16 = MN^2/9 = MP^2/16

=> 225/25 = 9 = MN^2/9 = MP^2/16

=> MN^2 = 81 và MP^2 = 144

=> MN = 9 và MP = 12 do MN và MP > 0

chu vi tam giác MNP : 9 + 12 + 15 = 36

Hình tự vẽ nha , đơn giản mà . 

Theo Đlý Pytago , ta có : 

MN² + MP²  = NP²

=> MN²+MP²=15²=225

Theo đề ta có : \(\frac{MN}{MP}=\frac{3}{4}\Rightarrow\frac{MN}{3}=\frac{MP}{4}\Rightarrow\frac{MN^2}{9}=\frac{MP^2}{16}\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : \(\frac{MN^2}{9}=\frac{MP^2}{16}=\frac{MN^2+MP^2}{9+16}=\frac{225}{25}=9\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}MN^2=9.9=81\\MP^2=9.16=144\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}MN=9cm\\MP=12cm\end{cases}}}\)

Vậy chu vi tam giác MNP là 9+12+15=36(cm)