a, Ta có  A E H ^ = A D H ^ = D A E ^ = 90 0 => Tứ giác ADHE là hình chữ nhật

Lại có AB.AD = AH² = AE.AC nên AB.AD = AE.AC

b, HB = 9cm, HC = 16cm (Lưu ý: AB < AC nên HB < HC)

HD = 36 5 cm, HE = 48 5 cm, Sxq = 3456 25 πcm 2 , V =  62208 125 πcm 3

a) Do D, E thuộc đường tròn đường kính DE nên \(\widehat{DAE}=\widehat{DHE}=90^o\)

Xét tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Do ADHE là hình chữ nhật nên hai đường chéo DE và AH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Mà O là trung điểm AH nên O là trung điểm DE.

Vậy D, O, E thẳng hàng.

b) Do AH vuông góc BC nên BC cũng là tiếp tuyến tại H của đường tròn (O)

Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có : DM = MH.

Xét tam giác vuông ADH có DM = MH nên DM = MH = MB hay M là trung điểm BH.

Tương tự N là trung điểm HC.

c) Dễ thấy MDEN là hình thang vuông.

Vậy thì \(S_{MDEN}=\frac{\left(MD+EN\right).DE}{2}=\frac{\left(MH+HN\right).AH}{2}\)

\(=\frac{MN.AH}{2}=\frac{\frac{1}{2}BC.AH}{2}=\frac{1}{4}BC.AH=\frac{1}{4}AB.AC\)

\(=\frac{1}{4}.9.8=18\left(cm^2\right)\)

a: Xét (I) có

ΔHDB nội tiếp

HB là đường kính

Do đó: ΔHDB vuông tại D

=>HD\(\perp\)AB

Xét (K) có

ΔCEH nội tiếp

CH là đường kính

Do đó: ΔCEH vuông tại E

=>HE\(\perp\)AC

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

b: Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

c: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=5^2-3^2=16\)

=>AC=4(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot5=3\cdot4=12\)

=>AH=2,4(cm)

ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE=2,4(cm)

\(\widehat{EDI}=\widehat{EDH}+\widehat{IDH}\)

\(=\widehat{HAC}+\widehat{IHD}\)

\(=\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90^0\)

=>ED\(\perp\)DI

\(\widehat{KED}=\widehat{KEH}+\widehat{DEH}\)

\(=\widehat{KHE}+\widehat{HAB}\)

\(=\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^0\)

=>EK\(\perp\)ED

mà ED\(\perp\)DI

nên EK//DI 

Xét tứ giác EDIK có

EK//DI

ED\(\perp\)EK

Do đó: EDIK là hình thang vuông
\(DI+EK=\dfrac{1}{2}HB+\dfrac{1}{2}HC=\dfrac{1}{2}\cdot\left(HB+HC\right)=2,5\left(cm\right)\)

\(S_{EDIK}=\dfrac{1}{2}\cdot ED\cdot\left(EK+DI\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot2,4\cdot2,5=3\left(cm^2\right)\)

a: O là trung điểm của BC

b: Xét \(\left(\dfrac{BH}{2}\right)\) có

ΔBDH là tam giác nội tiếp

BH là đường kính

Do đó: ΔBDH vuông tại D

Xét \(\left(\dfrac{CH}{2}\right)\)có

ΔCHE nội tiếp đường tròn

CH là đường kính

Do đó: ΔCHE vuông tại E

Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=\widehat{EAD}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

a: góc AEH=1/2*180=90 độ

=>HE vuông góc AB

góc AFH=1/2*180=90 độ

=>HF vuông góc AC

Vì góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ

=>AEHF là hình chữ nhật

b: AEHF làhình chữ nhật

=>góc AFE=góc AHE=góc B

=>góc B+góc FCB=180 độ

=>BEFC nội tiếp

a: 

Xét đường tròn đường kính HB có 

ΔHMB nội tiếp đường tròn

HB là đường kính

Do đó: ΔHMB vuông tại M

Xét đường tròn đường kính HC có 

ΔHNC nội tiếp đường tròn

HC là đường kính

Do đó: ΔHNC vuông tại N

Xét tứ giác AMHN có 

\(\widehat{NAM}=\widehat{ANH}=\widehat{AMH}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

b: \(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\)(cm)

=>AH=6*8/10=4,8(cm)

=>MN=4,8(cm)

c: góc IMN=góc IMH+góc NMH

=góc IHM+góc NAH

=góc HAC+góc HCA=90 độ

=>MN là tiếp tuyến của (I)

góc KNM=góc KNH+góc MNH

=góc KHN+góc MAH

=góc BAH+góc HBA=90 độ

=>MN là tiếp tuyến của (K)