a: Xét (I) có
ΔHDB nội tiếp
HB là đường kính
Do đó: ΔHDB vuông tại D
=>HD\(\perp\)AB
Xét (K) có
ΔCEH nội tiếp
CH là đường kính
Do đó: ΔCEH vuông tại E
=>HE\(\perp\)AC
Xét tứ giác ADHE có
\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)
=>ADHE là hình chữ nhật
b: Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao
nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)
c: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(AC^2=5^2-3^2=16\)
=>AC=4(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
=>\(AH\cdot5=3\cdot4=12\)
=>AH=2,4(cm)
ADHE là hình chữ nhật
=>AH=DE=2,4(cm)
\(\widehat{EDI}=\widehat{EDH}+\widehat{IDH}\)
\(=\widehat{HAC}+\widehat{IHD}\)
\(=\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90^0\)
=>ED\(\perp\)DI
\(\widehat{KED}=\widehat{KEH}+\widehat{DEH}\)
\(=\widehat{KHE}+\widehat{HAB}\)
\(=\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^0\)
=>EK\(\perp\)ED
mà ED\(\perp\)DI
nên EK//DI
Xét tứ giác EDIK có
EK//DI
ED\(\perp\)EK
Do đó: EDIK là hình thang vuông
\(DI+EK=\dfrac{1}{2}HB+\dfrac{1}{2}HC=\dfrac{1}{2}\cdot\left(HB+HC\right)=2,5\left(cm\right)\)
\(S_{EDIK}=\dfrac{1}{2}\cdot ED\cdot\left(EK+DI\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\cdot2,4\cdot2,5=3\left(cm^2\right)\)
