Gọi độ dai 3 cạnh là a, b, c.

Theo đề bài, ta có:

a\(\frac{a}{4}=\frac{b}{5}=\frac{c}{6}\)

gọi ba cạnh của tam giác làa;b;ccm(a;b;c>0)

thèo bài ra có chu vi tam giác là 37cm

=>a+b+c=37(1)

:ba đường cao tỉ lệ với 4;5;6

=>ha/4=hb/5=hc/6

đặt ha/4=hb/5=hc/6=k

=>ha=4k

hb=5k

hc=6k

có diện tích tam giác =ha.a=hb.b=hc.c

thay k vào ct:4k.a=5k.b=6k.c

<=>4a=5b=6c

<=>4a/60=5b/60=6c/60

<=>a/15=b/12=c/10(2)

từ 1,2

áp dụng t/c DTSBN

a/15=b/12=c/10=a+b+c/15+12+10=37/37=1

suy ra:a=15;b=12;c=10(tmđk)

vậy độ dài cạnh nhỏ nhất là 10cm

2:

a: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

góc HAB=góc HCA

=>ΔHAB đồng dạng với ΔHCA

=>HA/HC=HB/HA

=>HA^2=HB*HC

b: BC=4+9=13cm

AH=căn 4*9=6cm

S ABC=1/2*6*13=39cm²

Xét ∆HAF và ∆HCD:

\(\widehat{HFA}=\widehat{HDC}=90^o\)

\(\widehat{AHF}=\widehat{CHD}\) (2 góc đối đỉnh)

=> ∆HAF~∆HCD(g.g)

b) Xét ∆AHB có: M là trung điểm của AH 

                           N là trung điểm của HB

=> MN là đường trung bình của ∆AHB

=>MN//AB và \(MN=\dfrac{1}{2}AB\)

=> \(\widehat{HMN}=\widehat{BAM}\) (2 góc đồng vị)

Tương tự ở ∆AHC ta được: \(MP=\dfrac{1}{2}AC\)  và \(\widehat{HMP}=\widehat{CAM}\)

Ta có: \(\widehat{BAC}=\widehat{BAD}+\widehat{CAD}=\widehat{NMH}+\widehat{PMH}=\widehat{NMP}\)

            \(\dfrac{MN}{MP}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB}{\dfrac{1}{2}AC}=\dfrac{AB}{AC}\)

Xét ∆MNP và ∆ABC có:

\(\widehat{NMP}=\widehat{BAC}\left(cmt\right)\)

\(\dfrac{MN}{MP}=\dfrac{AB}{AC}\left(cmt\right)\)

=> ∆MNP~∆ABC

Ta có: \(\dfrac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{MN}{AB}\right)^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

=> \(S_{MNP}=\dfrac{1}{4}S_{ABC}\)