Đề bài thiếu, không thể xác định chính xác (P) khi chỉ biết đỉnh

Gọi (P) : y= \(ax^2+bx+c\)

Vì (P) đi qua gốc tọa độ

nên (P) cắt điểm A (0;0)

A(0;0) ∈ (P) ⇔ 0= c

Mà (P) có đỉnh I(-1;-3)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-b}{2a}=-1\\-3=a-b+c\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}-2a+b=0\\a-b=-3\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=6\end{matrix}\right.\)

Vậy a = 3 , b = 6 , c = 0

Parabol qua A(4;-3) và đỉnh I(1;5) ta có : 

-3 = 16a - 4b + c

5 = a - b + c

\(-\dfrac{\left(-b\right)}{2a}=1\Leftrightarrow b-2a=0\) 

Giải hệ trên ta có  : \(a=-\dfrac{8}{9};b=-\dfrac{16}{9};c=\dfrac{37}{9}\)

\(a\ne0\)

a/ \(\left\{{}\begin{matrix}64a+8b+c=0\\-\frac{b}{2a}=6\\\frac{4ac-b^2}{4a}=-12\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}64a+8b+c=0\\b=-12a\\4ac-b^2+48a=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=32a\\b=-12a\\4a.\left(32a\right)-\left(-12a\right)^2+48a=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-36\\c=96\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y=3x^2-36x+96\)

b/ \(\left\{{}\begin{matrix}c=6\\-\frac{b}{2a}=-2\\\frac{4ac-b^2}{4a}=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=6\\b=4a\\24a-16a^2=16a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\b=2\\c=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=\frac{1}{2}x^2+2x+6\)

ta có : \(\left(p\right)\) có đỉnh \(I\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{-4}{3}\right)\)

\(\Rightarrow\) điểm đối xướng \(x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow2a=-3b\Leftrightarrow2a+3b=0\) (1)

và \(I\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{-4}{3}\right)\) đồng thời cũng thuộc \(\left(p\right)\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{3}\right)^2a+\dfrac{1}{3}b+c=\dfrac{-4}{3}\Leftrightarrow\dfrac{1}{9}a+\dfrac{1}{3}b+c=\dfrac{-4}{3}\) (2)

ta có : \(\left(p\right)\) đi qua đỉnh \(A\left(1;0\right)\) \(\Rightarrow A\left(1;0\right)\in\left(p\right)\)

\(\Rightarrow1^2.a+1.b+c=0\Leftrightarrow a+b+c=0\) (3)

từ (1) ; (2) và (3) ta có được hệ phương trình 3 ẩn

\(\left\{{}\begin{matrix}2a+3b=0\\\dfrac{1}{9}a+\dfrac{1}{3}b+c=\dfrac{-4}{3}\\a+b+c=0\end{matrix}\right.\) bấm máy tính ta tìm được \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-2\\c=-1\end{matrix}\right.\)

vậy parabol \(y=ax^2+bx+c\) cần tìm là \(y=3x^2-2b-1\)

Lời giải:

ĐK: $a\neq 0$

Gọi đỉnh của parabol là $I$.

Ta có:

Hoành độ đỉnh: $x_I=\frac{-b}{2a}$

Tung độ đỉnh: $y_I=ax_I^2+bx_I+1=1-\frac{b^2}{4a}=0$

$\Rightarrow b^2=4a(*)$

Mặt khác parabol đi qua điểm $N(1,4)$ nên:

$y_N=ax_N^2+bx_N+1$

$\Leftrightarrow 4=a+b+1(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow b^2=4(3-b)\Rightarrow b=2$ hoặc $b=-6$

Nếu $b=2\rightarrow a=1$. Parabol $y=x^2+2x+1$

Nếu $b=-6\rightarrow a=9$. Parabol $y=9x^2-6x+1$