Lời giải:
ĐK: $a\neq 0$
Gọi đỉnh của parabol là $I$.
Ta có:
Hoành độ đỉnh: $x_I=\frac{-b}{2a}$
Tung độ đỉnh: $y_I=ax_I^2+bx_I+1=1-\frac{b^2}{4a}=0$
$\Rightarrow b^2=4a(*)$
Mặt khác parabol đi qua điểm $N(1,4)$ nên:
$y_N=ax_N^2+bx_N+1$
$\Leftrightarrow 4=a+b+1(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow b^2=4(3-b)\Rightarrow b=2$ hoặc $b=-6$
Nếu $b=2\rightarrow a=1$. Parabol $y=x^2+2x+1$
Nếu $b=-6\rightarrow a=9$. Parabol $y=9x^2-6x+1$