§3. Hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai được cho bởi công thức:

                                      \(y=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\)

Tập xác định của hàm số là: \(D=R\)

Hàm số \(y=ax^2\left(a\ne0\right)\) là một trường hợp riêng của hàm số này.

I. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

1. Nhận xét

Xét đồ thị hàm số \(y=ax^2\left(a\ne0\right)\): Điểm \(O\left(0;0\right)\) là đỉnh của parabol \(y=ax^2\).

Đó là điểm thấp nhất của đồ thị trong trường hợp \(a>0\) (\(y\ge0\) với mọi \(x\)):

 và là điểm cao nhất của đồ thị trong trường hợp \(a< 0\) (\(y\le0\) với mọi \(x\)):

Ta có thể viết: \(y=ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{-\Delta}{4a}\) với \(\Delta=b^2-4ac\)

Từ đó ta có nhận xét:

+) Điểm \(I\left(-\dfrac{b}{2a};\dfrac{-\Delta}{4a}\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\)

+) Nếu \(a>0\) thì \(y\ge\dfrac{-\Delta}{4a}\) với mọi \(x\), do đó \(I\) là điểm thấp nhất của đồ thị;

+) Nếu \(a< 0\) thì \(y\le\dfrac{-\Delta}{4a}\) với mọi \(x\), do đó \(I\) là điểm  nhất của đồ thị.

Như vậy, điểm \(I\left(-\dfrac{b}{2a};\dfrac{-\Delta}{4a}\right)\) đối với đồ thị hàm số \(y=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\) đóng vai trò như điểm \(O\left(0;0\right)\) của parabol \(y=ax^2\).

2. Đồ thị

Đồ thị của hàm số \(y=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\) là một đường parabol có đỉnh là điểm \(I\left(-\dfrac{b}{2a};\dfrac{-\Delta}{4a}\right)\), có trục đối xứng là đường thẳng \(x=-\dfrac{b}{2a}\). Parabol này có bề lõm quay lên trên nếu \(a>0\), quay xuống dưới nếu \(a< 0\).

+) Với \(a>0\):

+) Với \(a< 0\):

Ví dụ 1: Cho hàm số \(y=-x^2+5x-4\). Xác định tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số.

Giải:

Xét hàm số \(y=-x^2+5x-4\) có:

\(\Delta=5^2-4.\left(-1\right).\left(-4\right)=9\) \(\Rightarrow\) \(-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{9}{4.\left(-1\right)}=\dfrac{9}{4}\)

\(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{5}{2.\left(-1\right)}=\dfrac{5}{2}\)

Do đó ta có: Đỉnh của parabol \(y=-x^2+5x-4\) là \(I\left(-\dfrac{b}{2a};\dfrac{-\Delta}{4a}\right)=\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{9}{4}\right)\)

Ví dụ 2. Xác định trục đối xứng của parabol \(y=2x^2-3x+1\) và bề lõm của nó.

Giải:

Xét hàm số \(y=2x^2-3x+1\):

Do hệ số \(a=2>0\) nên parabol \(y=2x^2-3x+1\) có bề lõm quay lên trên.

Lại có: \(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-3}{2.2}=\dfrac{3}{4}\)

Vậy trục đối xứng của parabol \(y=2x^2-3x+1\) là \(x=\dfrac{3}{4}\).

Ví dụ 3: Xác định phương trình của parabol có đỉnh \(I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{-5}{4}\right)\) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(-1\).

Giải:

Gọi phương trình của parabol có dạng \(y=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\)

Do parabol có đỉnh \(I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{-5}{4}\right)\)

Nên ta có: \(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow a=-b\)  (1)

Lại có: \(-\dfrac{5}{4}=a.\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+b.\left(\dfrac{1}{2}\right)+c\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2}b+c=-\dfrac{5}{4}\) (2)

Mặt khác, parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(-1\)

\(\Rightarrow c=-1\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a=-b\\\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2}b+c=-\dfrac{5}{4}\\c=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-1\\c=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình parabol cần tìm là \(y=x^2-x-1\).

3. Cách vẽ

Để vẽ đồ thị của hàm số \(y=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\) ta thực hiện các bước làm sau:

+) Bước 1: Xác định tọa độ của đỉnh \(I\left(-\dfrac{b}{2a};\dfrac{-\Delta}{4a}\right)\) ;

+) Bước 2: Vẽ trục đối xứng \(x=-\dfrac{b}{2a}\) ;

+) Bước 3: Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm \(\left(0;c\right)\)) và trục hoành (nếu có). Ta có thể xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm \(\left(0;c\right)\) qua trục đối xứng của parabol, để vẽ đồ thị chính xác hơn.

+) Bước 4: Vẽ parabol.

Khi vẽ parabol cần chú ý đến dấu của hệ số a (\(a>0\) bề lõm quay lên trên, \(a< 0\) bề lõm quay xuống dưới).

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số \(y=3x^2-2x-1\).

Ta có:

+) \(\Delta=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4.3.\left(-1\right)=16\)

+) Đỉnh \(I\left(-\dfrac{b}{2a};\dfrac{-\Delta}{4a}\right)=\left(\dfrac{1}{3};-\dfrac{4}{3}\right)\)

+) Trục đối xứng là đường thẳng \(x=-\dfrac{b}{2a}\) hay \(x=\dfrac{1}{3}\)

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung là \(A\left(0;-1\right)\). 

    Điểm đối xứng với \(A\left(0;-1\right)\) qua trục đối xứng \(x=\dfrac{1}{3}\) là \(A'\left(\dfrac{2}{3};-1\right)\)

    Giao điểm của parabol với trục hoành là \(B\left(1;0\right)\) và \(B'\left(-\dfrac{1}{3};0\right)\)

Từ đó, ta vẽ được parabol \(y=3x^2-2x-1\) như sau:

II. CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

Ta có bảng biến thiên:

+) Với \(a>0\):

+) Với \(a< 0\):

Từ đó ta có định lí:

Nếu \(a>0\) thì hàm số \(y=ax^2+bx+c\)

       Nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;\dfrac{-b}{2a}\right)\) ;

       Đồng biến trên khoảng \(\left(\dfrac{-b}{2a};+\infty\right)\).

Nếu \(a< 0\) thì hàm số \(y=ax^2+bx+c\)

      Đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;\dfrac{-b}{2a}\right)\) ;

      Nghịch biến trên khoảng \(\left(\dfrac{-b}{2a};+\infty\right)\).

Ví dụ 1: Xét hàm số \(y=-2x^2+x+3\):

Ta có: \(\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-1}{2.\left(-2\right)}=\dfrac{1}{4}\)

Do hệ số \(a=-2< 0\)

Nên hàm số \(y=-2x^2+x+3\) đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;\dfrac{1}{4}\right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left(\dfrac{1}{4};+\infty\right)\).

Ví dụ 2: Xét hàm số \(y=3x^2-2x+4\):

Ta có: \(\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-\left(-2\right)}{2.3}=\dfrac{1}{3}\)

Do hệ số \(a=3>0\)

Nên hàm số \(y=3x^2-2x+4\) nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;\dfrac{1}{3}\right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left(\dfrac{1}{3};+\infty\right)\).