\(\overrightarrow{BC}=\left(16;4\right)=4\left(4;1\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(2;2\right)=2\left(1;1\right)\)

Phương trình đường cao xuất phát từ A và vuông góc BC:

\(4\left(x-3\right)+1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow4x+y-14=0\)

Pt đường cao xuất phát từ B:

\(1\left(x+11\right)+1\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow x+y+11=0\)

Tọa độ H là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}4x+y-14=0\\x+y+11=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(\dfrac{25}{3};-\dfrac{58}{3}\right)\)

Đáp án A

Giả sử A( x₀ ; y₀) , Do A ; B đối xứng nhau qua Ox  nên B( x₀ ; -y₀).

Ta có:

Vì A thuộc (E)  nên:

Vì AB = AC nên:

Thay (1) vào (2)  ta được:

Vì điểm A  khác C và Acó tung độ dương nên:

Gọi \(M\left(m;0\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(1-m;1\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(-2-m;4\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}=\left(m+5;-7\right)\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}\right|=\sqrt{\left(m+5\right)^2+49}\ge7\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m+5=0\Leftrightarrow m=-5\) hay \(M\left(-5;0\right)\)

Giả sử trực tâm của tam giác ABC có tọa độ \(H\left(x;y\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{BC}=\left(6;-2\right)\\\overrightarrow{AH}=\left(x-1;y\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\overrightarrow{BC}\perp\overrightarrow{AH}\Leftrightarrow\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\)

\(\Leftrightarrow6\left(x-1\right)-2y=0\)

\(\Leftrightarrow3x-y=3\left(1\right)\) 

Lại có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-2;1\right)\\\overrightarrow{CH}=\left(x-5;y+1\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{CH}\Leftrightarrow\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x-5\right)+y+1=0\)

\(\Leftrightarrow-2x+y=-11\left(2\right)\)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-8\\y=-27\end{matrix}\right.\Rightarrow H\left(-8;-27\right)\)

Gọi K là hình chiếu của A lên BC, I là hình chiếu của B lên AC

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AK\perp BC\\BI\perp AC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\\\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_K-x_A\right)\left(x_C-x_B\right)=0\\\left(y_K-y_A\right)\left(y_C-y_B\right)=0\\\left(x_I-x_B\right)\left(x_C-x_A\right)=0\\\left(y_I-y_B\right)\left(y_C-y_A\right)=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}I\left(...\right)\\K\left(....\right)\end{matrix}\right.\)

Viết phương trình đường thẳng ua A và K; Viết phương trìn đường thẳng ua B và I.

Giao điểm của 2 đường thẳng đó chính là tọa độ trực tâm H

Đáp án B

 => Đường thẳng AB có pt là: x- y – 5= 0.

Gọi G(a;3a- 8) suy ra C( 3a- 5; 9a -19).

Ta có: 

Vậy C( 1 ; -1) và  C( -2 ; 10)

Tam  giác ABC có M;  N ; P lần lượt là trung điểm của  BC; AC ; BC nên PM và MN  là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra: PM// AC;  NM // AB.

Do đó, tứ giác ANMP là hình bình hành.