a: Xét tứ giác ADME có

\(\widehat{ADM}=\widehat{AEM}=\widehat{DAE}=90^0\)

Do đó: ADME là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của BC

ME//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

D là trung điểm của AB

DO đó: MD là đường trung bình

=>MD//CE và MD=CE

hay CMDE là hình bình hành

Gợi ý câu c)

Bước 1: c/m tam giác DHE vuông tại H =>AK vuông góc với HE

Có DH=1/2 AB; HE=1/2 AC;DE=1/2 BC; AB²+AC²=BC²

Bước 2: c/m K là trực tâm của tam giác AHE

a) Xét ΔHBA và ΔABC có:

^A=^H=90^o

^HAB=^ACB(cùng phụ với ^ABC)

→ ΔHBA∼ΔABC(g.g)

b) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC, ta có:

\(BC=\sqrt{20^2+15^2}=25cm\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}AB.AC\)

\(\rightarrow AH.BC=AB.AC\)

\(\rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=12cm\)

c) Xét ΔAHB và ΔCHA có:

^AHB=^CHA=90^o

^HCA=^HAB(cùng phụ với ^ABC)

→ ΔAHB∼ΔCHA(g.g)

\(\rightarrow\dfrac{AH}{HB}=\dfrac{HC}{AH}\left(tươngứng\right)\)

\(\rightarrow AH^2=HB.HC\)

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có 

\(\widehat{B}\) chung

Do đó: ΔABC∼ΔHBA

b: Xét ΔCED vuông tại E và ΔAHD vuông tại H có

\(\widehat{CDE}=\widehat{ADH}\)

Do đó: ΔCED∼ΔAHD

Suy ra: CE/AH=CD/AD

hay \(CE\cdot AD=CD\cdot AH\)

c: Xét ΔHDE và ΔADC có

HD/AD=DE/DC

\(\widehat{HDE}=\widehat{ADC}\)

Do đó: ΔHDE∼ΔADC

d: Xét ΔAHD vuông tại H và ΔFHB vuông tại H có

HD=HB

\(\widehat{HAD}=\widehat{HFB}\)

Do đó: ΔAHD=ΔFHB

Suy ra: HA=HF

hay H là trung điểm của AF

Xét tứ giác ABFD có 

H là trung điểm của AF

H là trung điểm của BD

Do đó: ABFD là hình bình hành

mà DB⊥FA

nên ABFD là hình thoi

a: ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>HC*4=3^2=9

=>HC=2,25(cm)

BC=BH+CH

=2,25+4

=6,25(cm)

XétΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=2,25\cdot6,25\\AC^2=4\cdot6,25\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{2,25\cdot6,25}=3,75\left(cm\right)\\AC=\sqrt{25}=5\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét ΔABC vuông tại A có

\(sinC=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}\)

nên \(\widehat{C}\simeq37^0\)

=>\(\widehat{B}=90^0-37^0=53^0\)

b: Xét tứ giác AEHF có

\(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)

=>AEHF là hình chữ nhật

=>HA=EF=3(cm)

c: ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

B

b: góc BAD+góc CAD=90 độ

góc BDA+góc HAD=90 độ

mà góc CAD=góc HAD

nên góc BAD=góc BDA

=>ΔBAD cân tại B

mà BF là đường phân giác

nên BF vuông góc AD tại F

Xét ΔEFA vuông tại F và ΔEHB vuông tại H có

góc FEA=góc HEB

=>ΔEFA đồng dạng với ΔEHB

c: Xét ΔBAK và ΔBDK có

BA=BD

góc ABK=góc DBK

BK chung

=>ΔBAK=ΔBDK

=>góc BDK=90 độ

=>DK vuông góc BC

=>DK//AH

b: góc BAD+góc CAD=90 độ

góc BDA+góc HAD=90 độ

mà góc CAD=góc HAD

nên góc BAD=góc BDA

=>ΔBAD cân tại B

=>BF vuông góc AD tại F

Xét ΔEHB vuông tại H và ΔEFA vuông tại F có

góc HEB=góc FEA

=>ΔEHB đồng dạng với ΔEFA

c: Xét ΔBAK và ΔBDK có

BA=BD

góc ABK=góc DBK

BK chung

=>ΔBAK=ΔBDK

=>góc BDK=góc BAK=90 độ

=>DK//AH

a) Xét tam giác ABC và tam giác MDC có

                ^C chung

                 ^BAC=^DMC=90

=> tam giác ABC đông dạng vs tam giác MDC ( g-g)

b)Xét tam giác BIM bà tam giác BCA có

                IMB = ^BAC=90

               ^B chung

=> tam giác BIM ~BCA

=> BI/BM=BC/BA=>BI.BA=BM.BC

c)

a: Xét ΔBAC vuông tại A và ΔAHC vuông tại H có 

\(\widehat{C}\) chung

Do đó: ΔBAC∼ΔAHC

b: Xét ΔAHC vuông tại H có HK là đường cao

nên \(HK^2=AK\cdot KC\)

c: Xét ΔAHC vuông tại H có HK là đường cao

nên \(AH^2=AK\cdot AC\left(1\right)\)

Xét ΔAHB vuông tại H có HQ là đường cao

nên \(AH^2=AQ\cdot AB\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AK\cdot AC=AQ\cdot AB\)

hay AK/AB=AQ/AC

Xét ΔAQK vuông tại A và ΔACB vuông tại A có 

AK/AB=AQ/AC

Do đó: ΔAQK∼ΔACB