Cho nửa đường tròn (O;R) và hai đường kính MN và PQ vuông góc với nhau.Lấy điểm A trên cung nhỏ PN,PA cắt MN tại B,AQ cắt MN tại E.
a)Chứng minh tứ giác OABQ là tứ giác nội tiếp
b)Nối AM cắt BQ và PN lần lượt tại C và I.Chứng minh MC.MA không đổi khi A di chuyển trên cung nhỏ PN
Cho đường tròn (O) 2 đường kính MN,PQ vuông góc với nhau. Lấy điểm A trên cung nhỏ PN, PA cắt MN tại B, AQ cắt MN tại E.
a) cm: OABQ là tgnt
b) AM cắt PQ và PN lần lượt tại C ;I. Chứng minh: MC.MA không đổi khi A di chuyển trên cung nhỏ PN
c) cm: IN=căn 2 NE
d) tìm vị trí điểm A để diện tích ACE lớn nhất
Cho đường tròn (O), 2 đường kính MN và PQ vuông góc với nhau. I là 1 điểm thuộc cung nhỏ PN (I không trùng P;N). MI cắt PQ tại H.
a) Cm: Tứ giác NIHO nội tiếp
b) Cm: IP.MQ=IM.PH
a, Cm tu giac NIHO noi tiep:
CM - goc HON bang 90 do
- goc HIN bang 90 do
=>goc HON + goc HIN =180 do
Ma HON va HIN la hai Goc doi => DPCM
b,Cm IP.MQ=IM.PH
Cm - goc IHP bang goc MQI (= goc INM)
-goc IPH bang goc IMQ
=> tam giac IPH dong dang voi tam giac IMQ theo truong hop g.g
=>IP/PH=IM/MQ (canh ti le tuong ung)
=>DPCM
Cho đường tròn (0),đường kính MN và dây cung PQ vuông góc với MN tại I(khác M,N).trên cung nhỏ NP lấy điểm J(khác N,P).Nối M với J cắt PQ tại H.
a,cm/MJ là phân giác của PJQ
b,cm/HINJ nội tiếp
c,gọi gđ của PN với MJ là G,JQ với MN là K.cm/GK//PQ
(HỘ MK VỚI! THANKS FOR)
a) Ta thấy đường trong (O) có dây cung PQ vuông góc với đường kính MN
=> M là điểm chính giữa của cung PQ => MP=MQ => \(\Delta\)PMQ cân tại M => ^MPQ=^MQP.
Tứ giác PMQJ nội tiếp (O) => ^MJQ=^MPQ; ^MJP=^MQP. Mà ^MPQ=^MQP (cmt)
=> ^MJQ=^MJP => MJ là phân giác ^PJQ (đpcm).
b) Đường tròn (O) có MN là đường kính: J thuộc cung MN => ^MJN=900 hay ^HJN=900
Xét tứ giác HINJ: ^HJN=^HIN=900 => Tứ giác HINJ nội tiếp đường tròn (đpcm).
c) Tứ giác MJNQ nội tiếp đường tròn (O) => ^MJQ=^MNQ.
Dễ thấy ^MNQ=^MNP => ^MJQ=^MNP hay ^GJK=^KNG.
Xét tứ giác GKNJ: ^GJK=^KNG (cmt) => Tứ giác GKNJ nội tiếp đường tròn.
=> ^GKJ=^GNJ hay ^GKJ=^PNJ.
Mà tứ giác PJNQ nội tiếp (O) => ^PNJ=^PQJ nên ^GKJ=^PQJ.
Lại thấy: 2 góc ^GKJ nà ^PQJ nằm ở vị trí đồng vị => GK//PQ (đpcm).
cho hình thang MNPQ (MN//PQ,MN<PQ) a là giao của MP và NQ
a) cho AM/AQ =3/5 và AN =6cm , MN =7cm
Tính AP =?, QP=?
b,MP giao NQ tại O , kẻ đường thẳng qua O và song song với MN, PQ , dường thẳng này cắt MQ tại E cắt PN tại F . cm OE=OF
b: Xét hình thang MNPQ có EF//QP
nên ME/MQ=NF/NP(1)
Xét ΔMQP có EO//QP
nên EO/QP=ME/MQ(2)
Xét ΔNQP có OF//QP
nên OF/QP=NF/NP(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra OE/QP=OF/QP
hay OE=OF
Bài 31:Cho đường tròn (O), đường kính MN và dây cung PQ vuông gócvới MN tại I ( khác M, N). Trên cung nhỏ NP lấy điểm J (khác N, P). Nối M với J cắt PQ tại H.
a) Chứng minh 4 điểm H, I, N, J cùng nằm trên một đường tròn
b) Gọi giao điểm của PN với MJ là G; JQ với MN là K. Chứng minh: GK // PQ.
c) Chứng minh G là tâm đường tròn nội tiếp DPKJ.
d) JN cắt PQ tại A. Tính: HP.AQ - AP.HQ
a) Xét (O) có
ΔMJN nội tiếp đường tròn(M,J,N∈(O))
MN là đường kính(gt)
Do đó: ΔMJN vuông tại J(Định lí)
⇒\(\widehat{MJN}=90^0\)
⇔\(\widehat{HJN}=90^0\)
Xét tứ giác HJNI có
\(\widehat{HJN}\) và \(\widehat{HIN}\) là hai góc đối
\(\widehat{HJN}+\widehat{HIN}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: HJNI là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
⇔H,J,N,I cùng nằm trên một đường tròn
Cho (O;R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H(Hnằm giữa O và B) trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn(O;R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O;R) tại điểm K khác A,2 dây MN và BK cắt nhau ở E
a) Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp
góc AKB=1/2*180=90 độ
góc AKE+góc AHE=180 độ
=>AKEH nội tiếp
Cho đường tròn (O;R) và dây MN cố định. Gọi A là điểm chính giữa của cung lớn MN, đường kính AB cắt MN tại E. Lấy điểm C thuộc MN sao cho C khác M, N, E và BC cắt đường tròn (O;R) ở K. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác KAEC nội tiếp
b) \(BM^2\) = BC.BK
a: A là điểm chính giữa của cung lơn MN
=>AM=AN
=>AO là trung trực của MN
=>AB vuông góc MN tại Evà E là trung điểm của MN
góc BKA=1/2*sđ cung AB=90 độ
góc AEC+góc AKC=90+90=180 độ
=>AKCE nội tiếp
b: Xét ΔBMC và ΔBKM có
góc BMC=góc BKM
góc MBC chung
=>ΔBMC đồng dạng với ΔBKM
=>BM/BK=BC/BM
=>BM^2=BK*BC
Cho đừng tròn O đường kính AB. Gọi C trên đoạn OA. Đường thẳng qua C và vuông góc AB cắt (O) tại P và Q. Tiếp tuyến (O) tại D trên cung nhỏ BP cắt đường thẳng PQ tại E. AD cắt PQ tại F.
a) CM tứ giác BCED nội tiếp (r)
b) CM ED = EF (r)
c) CM ED^2 = EQ.EP
