Chứng minh EFGH là hình bình hành. Để EFGH là hình chữ nhật thì

Þ H E F ^ = 90 0 ⇒ H E ⊥   E F  

Þ AC ^BD.

a: Xét ΔABD có 

E là trung điểm của AB

H là trung điểm của AD

Do đó: EH là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: EH//BD và \(EH=\dfrac{BD}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔBCD có 

F là trung điểm của BC

G là trung điểm của DC

Do đó: FG là đường trung bình của ΔBCD

Suy ra: FG//BD và \(FG=\dfrac{BD}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra EH//GF và EH=GF

hay EHGF là hình bình hành

Xét tam giác ABC:

Ta có: EB = EA, FA = FC (gt)

Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

Nên EF // BC, EF = 1/2 BC.

Xét tam giác BDC có

HB = HD, GD = GC (gt)

Nên HG là đường trung bình của tam giác BDC

Nên HG // BC, HG = 1/2 BC.

Do đó EF //HG, EF = HG.

Tương tự EH // FG, EH = FG

Vậy EFGH là hình bình hành.

EFGH là hình vuông khi và chỉ khi EFGH là hình chữ nhật đồng thời là hình thoi

⇔ AD ⊥ BC và AD = BC

Xét tam giác ABC:

Ta có: EB = EA, FA = FC (gt)

Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

Nên EF // BC, EF = 1/2 BC.

Xét tam giác BDC có

HB = HD, GD = GC (gt)

Nên HG là đường trung bình của tam giác BDC

Nên HG // BC, HG = 1/2 BC.

Do đó EF //HG, EF = HG.

Tương tự EH // FG, EH = FG

Vậy EFGH là hình bình hành.

EFGH là hình thoi ⇔ EH = EF ⇔ AD = BC

Xét tam giác ABC:

Ta có: EB = EA, FA = FC (gt)

Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

Nên EF // BC, EF = 1/2 BC.

Xét tam giác BDC có

HB = HD, GD = GC (gt)

Nên HG là đường trung bình của tam giác BDC

Nên HG // BC, HG = 1/2 BC.

Do đó EF //HG, EF = HG.

Tương tự EH // FG, EH = FG

Vậy EFGH là hình bình hành.

EFGH là hình chữ nhật ⇔ EH ⊥ EF ⇔ AD ⊥ BC

a: Xét ΔBAD có 

E là tđiểm của AB

H là tđiểm của BD

Do đó: EH là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: EH//AD và EH=AD/2(1)

Xét ΔACD có

F là trung điểm của AC

G là trung điểm của CD
Do đó: FG là đường trung bình của ΔACD

Suy ra: FG//AD và FG=AD/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra EH//GF và EH=GF

hay EFGH là hình bình hành

a: Xét ΔBAC có

E,F lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>EF là đường trung bình

=>EF//AC và EF=AC/2

Xét ΔCDA có

G,H lần lượt là trung điểm của DC,DA

=>GH là đường trung bình

=>GH//AC và GH=AC/2

=>EF//GH và EF=GH

Xét tứ giác EFGH có

EF//GH

EF=GH

=>EFGH là hình bình hành

b: Để EFGH là hình chữ nhật thì HE vuông góc EF

=>AC vuông góc BD