Do tâm nằm trên đường thẳng ∆: x +y – 3 = 0 nên tâm I(x; 3 – x). Mà đường tròn đi qua A(-1; 3), B(1;4) nên 

I A 2 = I B 2 ⇔ x + 1 2 + − x 2 = x − 1 2 + − 1 − x 2

⇔ x 2 + ​ 2 x + ​ 1    + ​ x 2 = x 2 − 2 x + 1 + ​ 1 + ​ 2 x + x 2 ⇔ 2 x 2 + ​ 2 x + ​ 1 = 2 x 2 + ​ 2 ⇔ 2 x = 1 ⇔ x = 1 2

Tọa độ điểm  I 1 2 ;     5 2

Bán kính  I A =    − 1 − 1 2 2 + ​ 3 − 5 2 2 = 10 2

Phương trình đường tròn là  x − 1 2 2 + y − 5 2 2 = 5 2 ⇔   x 2 + y 2 − x − 5 y + 4 = 0

ĐÁP ÁN C

kẻ đường trung trực △

vecto AB=(-3;-2)

trung điểm H (2-1/2;1-1/2)=(1/2;0)

=>pt△: -3(x-1/2)-2(y-0)=0

<=> -3x-2y+3/2=0

Tham khảo:

I nằm trên Δ nên I(x;2x+1)

\(IA=IB\)

=>IA^2=IB^2

=>(x+1)^2+(2x+1-1)^2=(x-1)^2+(2x+1+3)^2

=>x^2+2x+1+4x^2=x^2-2x+1+4x^2+16x+16

=>14x+17=2x+1

=>12x=-16

=>x=-4/3

=>I(-4/3;-5/3)

mà A(-1;1)

nên \(R=\sqrt{\left(-1+\dfrac{4}{3}\right)^2+\left(1+\dfrac{5}{3}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{65}}{3}\)

=>\(\left(C\right):\left(x+\dfrac{4}{3}\right)^2+\left(y+\dfrac{5}{3}\right)^2=\dfrac{65}{9}\)

Gọi P là trung điểm MN \(\Rightarrow P\left(0;-1\right)\)

\(\overrightarrow{MN}=\left(2;-4\right)=2\left(1;-2\right)\Rightarrow\) trung trực của MN nhận (1;-2) là 1 vtpt

Phương trình trung trực MN:

\(1\left(x-0\right)-2\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x-2y-2=0\)

Gọi I là tâm đường tròn cần tìm \(\Rightarrow\) I là giao điểm của d và trung trực MN

Tọa độ I thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y-2=0\\2x-y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(-\dfrac{4}{3};-\dfrac{5}{3}\right)\)

\(\overrightarrow{IM}=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)\Rightarrow R^2=IM^2=\dfrac{65}{9}\)

Phương trình: \(\left(x+\dfrac{4}{3}\right)^2+\left(y+\dfrac{5}{3}\right)^2=\dfrac{65}{9}\)

Tâm I nằm trên Δ nên I(x;3x-4)

IA=IB

=>(x+1)^2+(3x-4-3)^2=(x-1)^2+(3x-9)^2

=>x^2+2x+1+9x^2-42x+49=x^2-2x+1+9x^2-54x+81

=>-40x+50=-56x+82

=>16x=32

=>x=2

=>I(2;2)

R=IA=căn (2+1)^2+(3-2)^2=căn 10

(C): (x-2)^2+(y-2)^2=10

Đáp án B

Gọi I (a; b) là tâm của đường tròn (C)  do đó:

AI² = BI²

Nên ( a-1) ²+ (b-3) ² = (a-3) ²+ (b-1) ²

=> a= b  (1)

 Mà  I( a; b) thuộc d: 2x- y + 7= 0 nên 2a – b+ 7= 0 (2)

Thay (1) vào (2) ta có: a= -7 => b= -7

Khi đó: R²= AI²= 164 .

Vậy  phương trình (C) : ( x+ 7)²+ (y+7)²= 164 .

a) Ta có phương trình đường tròn là \(({C_1}):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 81\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {IA}  = (3;3) \Rightarrow IA = 3\sqrt 2  = R\)

Suy ra phương trình đường tròn là; \({C_2}:{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 18\)

c) Vì tâm đường tròn nằm trên đường thẳng \(4x + y - 16 = 0\) nên có tọa độ \(I\left( {a;16 - 4a} \right)\)

Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {16 - 4a - 1} \right)}^2}} ,IB = \sqrt {{{\left( {a - 6} \right)}^2} + {{\left( {16 - 4a - 5} \right)}^2}} \)

A, B thuộc đường tròn nên \(IA = IB \Rightarrow \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {16 - 4a - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {a - 6} \right)}^2} + {{\left( {16 - 4a - 5} \right)}^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {16 - 4a - 1} \right)^2} = {\left( {a - 6} \right)^2} + {\left( {16 - 4a - 5} \right)^2}\\ \Rightarrow {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {15 - 4a} \right)^2} = {\left( {a - 6} \right)^2} + {\left( {11 - 4a} \right)^2}\\ \Rightarrow  - 28a =  - 84 \Rightarrow a = 3\end{array}\)

Suy ra tâm đường tròn là \(I(3;4)\), bán kính \(R = IA = \sqrt {10} \)

Phương trình đường tròn trên là \(({C_3}):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 10\)

d) Giả sử phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2mx - 2ny + p = 0\) (với tâm \(I(m;n),R = \sqrt {{m^2} + {n^2} - p} \))

Đường tròn đi qua gốc tọa độ và cắt 2 trục tọa độ tại các điểm có hoành độ a và tung độ là b nên ta có hệ phương trình:

Ta có điều kiện \(a,b \ne 0\), vì khi bằng 0 thì trùng với gốc tọa độ

\(\left\{ \begin{array}{l}{0^2} + {0^2} - 2m.0 - 2n.0 + p = 0\\{a^2} + {0^2} - 2ma - 2n.0 + p = 0\\{0^2} + {b^2} - 2m.0 - 2nb + p = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = 0\\{a^2} - 2ma = 0\\{b^2} - 2nb = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = 0\\m = \frac{a}{2}\\n = \frac{b}{2}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình chính tắc của đường tròn trên là \({x^2} + {y^2} - ax - by = 0\)