Đáp án C.

- Ta có:

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):  tại điểm M ( x 0 ; y 0 )   ∈ (C) là:

- Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(2; 3) nên ta có:

- Vậy có một tiếp tuyến thỏa đề bài là:

Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;-1\right)\) bán kính \(R=1\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{IM}=\left(2;5\right)\Rightarrow IM=\sqrt{29}\)

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow IM\perp AB\) tại H \(\Rightarrow IH=d\left(I;AB\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AIM:

\(IA^2=IH.IM\Rightarrow IH=\dfrac{R^2}{IM}=\dfrac{1}{\sqrt{29}}\)

Đường thẳng AB vuông góc IM nên nhận (2;5) là 1 vtpt

Phương trình AB có dạng: \(2x+5y+c=0\)

Do \(d\left(I;AB\right)=IH=\dfrac{1}{\sqrt{29}}\) \(\Rightarrow\dfrac{\left|2.1-5.1+c\right|}{\sqrt{2^2+5^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{29}}\)

\(\Rightarrow\left|c-3\right|=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=4\\c=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+5y+2=0\\2x+5y+4=0\end{matrix}\right.\)

Mặt khác I và M nằm ở hai phía so với đường thẳng AB \(\Rightarrow\) đường thẳng có pt \(2x+5y+4=0\) không thỏa mãn do \(\left(2.3+5.4+4\right).\left(2.1-5.1+4\right)>0\)

Vậy pt đường thẳng AB là: \(2x+5y+2=0\)

\(y'=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}\)

Gọi tiếp tuyến qua điểm \(M\left(a;b\right)\) thuộc (C) có dạng:

\(y=\dfrac{-1}{\left(a-1\right)^2}\left(x-a\right)+\dfrac{2a-1}{a-1}\)

\(\Leftrightarrow x+\left(a-1\right)^2y-2a^2+2a-1=0\)

Áp dụng công thức khoảng cách:

\(\dfrac{\left|1+2\left(a-1\right)^2-2a^2+2a-1\right|}{\sqrt{1+\left(a-1\right)^4}}=\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\left|2a-2\right|=\sqrt{2}.\sqrt{1+\left(a-1\right)^4}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a-1\right)^2=1+\left(a-1\right)^4\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a-1\right)^2-1\right]^2=0\Rightarrow a=...\)

b.

Vẫn từ công thức khoảng cách trên:

\(d=\dfrac{\left|2a-2\right|}{\sqrt{1+\left(a-1\right)^4}}=\dfrac{2\sqrt{\left(a-1\right)^2}}{\sqrt{1+\left(a-1\right)^4}}=\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{1}{\left(a-1\right)^2}+\left(a-1\right)^2}}\)

\(d\le\dfrac{2}{\sqrt{2\sqrt{\dfrac{\left(a-1\right)^2}{\left(a-1\right)^2}}}}=\sqrt{2}\)

Vậy \(d_{max}=\sqrt{2}\) khi tiếp tuyến trùng với các tiếp tuyến câu a

a: vecto AB=(1;-1); vecto AC=(2;1); vecto BC=(1;2)

AB có VTPT là (1;1)

Phương trình AB là;

1(x-1)+1(y+1)=0

=>x+y=0

AC có VTPT là (-1;2)

PT AC là:

-1(x-1)+2(y+1)=0

=>-x+1+2y+2=0

=>-x+2y+3=0

BC có VTPT là (-2;1)

PT BC là;

-2(x-2)+1(y+2)=0

=>-2x+y+6=0

b: AH có VTPT là (1;2)

Phương trình AH là:

1(x-1)+2(y+1)=0

=>x-1+2y+2=0

=>x+2y+1=0

* Xét đường tròn (C): x 2  + y 2  - 4x + 2y + 2 = 0

ta có: 

* Phương trình đường thẳng Δ kẻ từ M(3; 1) có dạng:

a(x - 3) + b(y - 1) = 0 ⇔ ax - 3a + by - b = 0 ⇔ ax + by - 3a - b = 0

* Vì đường thẳng Δ là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên ta có:

Vậy phương trình tiếp tuyến kẻ từ M(3;1) đến đường tròn (C): x 2  + y 2  - 4x + 2y + 2 = 0 là:

(2 +  6 )x + 2y - 8 - 3 6  = 0 hoặc (2 -  6 )x + 2y - 8 + 3 6  = 0

ĐÁP ÁN B

Đường tròn (C): x 2   +   y 2   -     4 x   +   2 y   –   4 =   0  có tâm I(2; -1) và  bán kính  R ​ =    2 2 + ​ ( − 1 ) 2 + ​ 4 = 3

 Tiếp  tuyến qua M( -4; 2)  và nhận n →    ( a ;    b )  làm VTPT có phương trình :

a( x+ 4) + b (y – 2)= 0  hay ax + by + 4a – 2b = 0    (*)

Khoảng cách từ tâm I đến  tiếp tuyến bằng bán kính nên ta có:

d ( I ;    d ) ​ =     R ⇔ 2 a − b + ​ 4 a − ​​ 2 b a 2 + ​ b 2 = 3 ⇔ 6 a − 3 b a 2 + ​ b 2 = 3 ⇔ 2 a − b a 2 + ​ b 2 = 1 ⇔ 2 a − b = a 2 + ​ b 2 ⇔ 4 a 2 − 4 a b + ​ b 2 = a 2 + ​ b 2 ⇔ 3 a 2 − 4 a b = 0 ⇔ a ( ​ 3 a − 4 b ) = 0 ⇔ a = 0 3 a = 4 b

* Nếu a= 0 , chọn  b= 1 thay  vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến là:  y – 2= 0

* Nếu 3a =  4b, chọn a = 4 thì b = 3 thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến là: 

4x + 3y + 10 = 0

Vậy có 2 tiếp tuyến qua M là:  y – 2= 0 và 4x +3y + 10= 0