Biết rằng \(S=1+2.3+3.3^2+...+11.3^{10}=a+\dfrac{21.3^b}{4}\). Tính \(P=a+\dfrac{b}{4}\)
Biết rằng \(S=1+2.3+3.3^2+...+11.3^{10}=a+\dfrac{21.3^b}{4}\). Tính \(P=a+\dfrac{b}{4}\)
Cho \(f\left(x\right)=a.\left(2024^x-2024^{-x}\right)+bx^{2023}+2025\) với a,b là tham số. Biết: \(f\left(1-\sqrt[4]{8}\right)=10\), tính \(f\left(2^{\dfrac{3}{4}}-1\right)\)
Lời giải:
Với mọi $x\in\mathbb{R}$:
\(f(x)=a(2024^x-2024^{-x})+bx^{2023}+2025\)
\(\Rightarrow f(-x)=a(2024^{-x}-2024^{-(-x)})+b(-x)^{2023}+2025=a(2024^{-x}-2024^x)-bx^{2023}+2025\)
$\Rightarrow f(x)+f(-x)=4050$
Thay \(x=1-\sqrt[4]{8}=1-2^{\frac{3}{4}}\) thì:
\(f(2^{\frac{3}{4}}-1)=4050-f(1-2^{\frac{3}{4}})=4050-10=4040\)
Cho phương trình \(2.\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)=m+x\sqrt{4-x^2}\). Gọi \(m_0\) là giá trị nhỏ nhất của tham số m để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. Tìm \(m_0\)
Đặt \(x+\sqrt{4-x^2}=t\in\left[-2;2\sqrt{2}\right]\)
- Với \(\left[{}\begin{matrix}t=2\sqrt{2}\\-2\le t< 2\end{matrix}\right.\) mỗi giá trị t cho 1 giá trị x
- Với \(2\le t< 2\sqrt{2}\) mỗi giá trị t cho 2 giá trị x
\(t^2=4+2x\sqrt{4-x^2}\Rightarrow x\sqrt{4-x^2}=\dfrac{t^2-4}{2}\)
Pt trở thành: \(2t=m+\dfrac{t^2-4}{2}\Leftrightarrow f\left(t\right)=t^2-4t-4=-2m\) (1)
Pt có 3 nghiệm khi (1) có 2 nghiệm thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}t_1=2\sqrt{2}\\-2\le t_1< 2\end{matrix}\right.\\2\le t_2< 2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
\(f\left(-2\right)=8\) ; \(f\left(2\right)=-8\) ; \(f\left(2\sqrt{2}\right)=4-8\sqrt{2}\)
Từ đồ thị \(\Rightarrow-8< -2m< 4-8\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow-2+4\sqrt{2}< m< 4\)
Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [0;1]. Tìm GTLN của biểu thức: P=a.(1-b)+b.(1-c)+c.(1-a)
\(a;b;c\in\left[0;1\right]\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-a\ge0\\1-b\ge0\\1-c\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)
\(\Rightarrow abc+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca-a-b-c+1\ge0\)
\(\Rightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1\)
\(\Rightarrow a\left(1-b\right)+b\left(1-c\right)+c\left(1-a\right)\le1\)
Vậy \(P_{max}=1\)
Thầy giáo viết lên bảng 2 số tự nhiên A và B, mỗi số đều có các chữ số đôi một khác nhau. Số A có 3 chữ số và số B có 4 chữ số. Xác suất để chữ số của A chỉ có thể trùng với chữ số của B nhiều nhất là 1 chữ số là?
Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f\left(x\right)=\left|-3x^2+6x+1-2m\right|\) trên [-2;3] đạt giá trị nhỏ nhất
Đặt \(g\left(x\right)=3x^2+6x+1-2m\)
\(-\dfrac{b}{2a}=1\) ; \(g\left(-2\right)=-23-2m\) ; \(g\left(1\right)=4-2m\) ; \(g\left(3\right)=-8-2m\)
Do \(4-2m>-8-2m>-23-2m\) nên \(f\left(x\right)=\left|g\left(x\right)\right|\) đạt max tại \(-2\) hoặc \(1\)
Hay \(\max\limits_{\left[-2;3\right]}f\left(x\right)=\max\limits_{\left[-2;3\right]}\left(\left|2m+23\right|;\left|4-2m\right|\right)\ge\dfrac{\left|2m+23\right|+\left|4-2m\right|}{2}\)
\(\ge\dfrac{\left|2m+23+4-2m\right|}{2}=\dfrac{27}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(2m+23=4-2m\Rightarrow m=-\dfrac{19}{4}\)
Cho hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\left(x^2-5x\right)^2+8x^2-40x+16}-9x^2-5x+4+10x.\left|x\right|=0\\x^2-2.\left(m-1\right)x+m.\left(m-2\right)=0\end{matrix}\right.\). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
\(\sqrt{\left(x^2-5x\right)^2+8\left(x^2-5x\right)+16}+x^2-5x+4=10x^2-10x\left|x\right|\) (1)
\(\Leftrightarrow\left|x^2-5x+4\right|+x^2-5x+4=10x^2-x\left|x\right|\) (2)
- Với \(x\ge0\Rightarrow\left|x^2-5x+4\right|+x^2-5x+4=10x^2-10x.x=0\)
\(\Leftrightarrow\left|x^2-5x+4\right|=-\left(x^2-5x+4\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x+4\le0\)
\(\Rightarrow1\le x\le4\)
- Với \(x< 0\Rightarrow x^2-5x+4>0\)
(2) trở thành:
\(2\left(x^2-5x+4\right)=10x^2-10x.\left(-x\right)\)
\(\Leftrightarrow9x^2+5x-4=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=\dfrac{4}{9}>0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm của (1) là: \(\left[{}\begin{matrix}x=-1\\1\le x\le4\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất khi: \(f\left(x\right)=x^2-2\left(m-1\right)x+m\left(m-2\right)=0\) (3) có nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa mãn:
TH1 \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=-1\\x_2\notin\left[1;4\right]\end{matrix}\right.\)
Thay \(x=-1\) vào (3) \(\Rightarrow m^2=1\Rightarrow m=\pm1\)
Với \(m=1\Rightarrow x_2=1\in\left[1;4\right]\) (loại)
Với \(m=-1\Rightarrow x_2=-3\) (thỏa mãn)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1\in\left[1;4\right]\\x_2\ne-1\\x_2\notin\left[1;4\right]\end{matrix}\right.\) (4)
Để pt ko có nghiệm \(x=-1\Rightarrow m\ne\pm1\)
Khi đó (4) \(\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2+2x-2m=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)^2+2\left(x-m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)\left(x-m+2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=m\\x=m-2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}1\le m\le4\\m-2< 1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1\le m-2\le4\\m>4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}1\le m< 3\\4< m\le6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m=\left\{-1;1;2;5;6\right\}\) có 5 giá trị nguyên
Giúp e giải chi tiết và vẽ hình câu 31 32 ạ
Giúp e câu 29 30 giải chi tiết ạ
Hi bạn, câu 29 này mình có cái cách này dùng cho các bài lim khi rơi vào trường hợp vô định thì bạn dùng quy tắc L'Hospital làm cho nhanh với trường hợp các bài trắc nghiệm như thế này
Ở bài 29 này đang rơi vào dạng \(\dfrac{0}{0}\) nên dùng quy tắc L'Hospital được nè. Bạn làm như sau:
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne1\\x\ge-3\end{matrix}\right.\)
Bước 1: Đạo hàm tử mẫu, ta được: \(\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(x+3\right)^{-\dfrac{1}{2}}}{1}\)
Bước 2: Thay điểm cần tính giới hạn: (x=1)
ta sẽ được \(\dfrac{1}{4}\)
Vậy \(lim_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow a=1;b=4\)
Vậy S=4a-b=0
Giúp e câu 27 và 30 đi ạ
30.
\(y'=\dfrac{\left(x-2\right)'\left(x+2\right)-\left(x+2\right)'\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{x+2-\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{4}{\left(x+2\right)^2}\)
27.
D sai.
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc mặt đáy (trong khi D là "không vuông góc")