Nội dung lý thuyết
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\), xác định trên khoảng \(\left(a;b\right)\) và có đạo hàm tại điểm \(x_0\in\left(a;b\right)\). Giả sử \(\Delta x\) là số gia của \(x\).
Ta gọi tích \(f'\left(x\right)\Delta x\) là vi phân của hàm số \(y=f\left(x\right)\) tại \(x\) ứng với số gia \(\Delta x\), ký hiệu \(dy\) hoặc \(df\left(x\right)\), tức là
\(dy=df\left(x\right)=f'\left(x\right)\Delta x\).
Chú ý: Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số \(y=x\) ta có
\(dx=d\left(x\right)=\left(x\right)'\Delta x=1.\Delta x=\Delta x\)
Do đó với hàm số \(y=f\left(x\right)\) ta có
\(dy=df\left(x\right)=f'\left(x\right)dx\)
Ví dụ 1: Tính vi phân của các hàm số sau:
a) \(y=x^3-5x+1\) ;
b) \(y=\sin^3x\).
Giải:
a) \(y=x^3-5x+1\) , \(y'=3x^2-5\)
Vậy \(dy=d\left(x^3-5x+1\right)=y'dx=\left(3x^2-5\right)dx\)
b) \(y=\sin^3x\) , \(y'=3\sin^2x\cos x\)
Vậy \(dy=d\left(\sin^3x\right)=y'dx=3\sin^2x\cos xdx\).
Ví dụ 2: Tính vi phân của các hàm số:
a) \(y=\dfrac{\sqrt{x}}{a+b}\) (\(a,b\) là các hằng số) ;
b) \(y=\left(x^2+4x+1\right)\left(x^2-\sqrt{x}\right)\) ;
c) \(y=\dfrac{\cos x}{1-x^2}\).
Giải:
a) \(y=\dfrac{\sqrt{x}}{a+b}\)
Ta có: \(y'=\dfrac{1}{a+b}\left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\left(a+b\right)\sqrt{x}}\)
Vậy \(dy=d\left(\dfrac{\sqrt{x}}{a+b}\right)=y'dx=\dfrac{1}{2\left(a+b\right)\sqrt{x}}dx\).
b) \(y=\left(x^2+4x+1\right)\left(x^2-\sqrt{x}\right)\)
Ta có: \(y'=\left(x^2+4x+1\right)'\left(x^2-\sqrt{x}\right)+\left(x^2+4x+1\right)\left(x^2-\sqrt{x}\right)'\)
\(=\left(2x+4\right)\left(x^2-\sqrt{x}\right)+\left(x^2+4x+1\right)\left(2x-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)\)
Vậy \(dy=y'dx=\left[\left(2x+4\right)\left(x^2-\sqrt{x}\right)+\left(x^2+4x+1\right)\left(2x-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)\right]dx\).
c) \(y=\dfrac{\cos x}{1-x^2}\)
Ta có: \(y'=\dfrac{\left(\cos x\right)'\left(1-x^2\right)-\cos x.\left(1-x^2\right)'}{\left(1-x^2\right)^2}=\dfrac{-\sin x\left(1-x^2\right)-\cos x.\left(-2x\right)}{\left(1-x^2\right)^2}\)
\(=\dfrac{\left(x^2-1\right)\sin x+2x\cos x}{\left(1-x^2\right)^2}\)
Vậy \(dy=y'dx=\dfrac{\left(x^2-1\right)\sin x+2x\cos x}{\left(1-x^2\right)^2}dx\)
Theo định nghĩa đạo hàm ta có:
\(f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
Do đó với \(\left|\Delta x\right|\) đủ nhỏ thì
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\approx f'\left(x_0\right)\) hay \(\Delta y\approx f'\left(x_0\right)\Delta x\)
Từ đó ta có \(f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)\approx f'\left(x_0\right)\Delta x\)
hay \(f\left(x_0+\Delta x\right)\approx f\left(x_0\right)+f'\left(x_0\right)\Delta x\)
Đó là công thức tính gần đúng đơn giản nhất.
Ví dụ 3: Tính giá trị gần đúng của \(\sqrt{3,99}\).
Giải:
Đặt \(f\left(x\right)=\sqrt{x}\) , ta có \(f'\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
Theo công thức tính gần đúng, với \(x_0=4,\Delta x=-0,01\) ta có
\(f\left(3,99\right)=f\left(4-0,01\right)\approx f\left(4\right)+f'\left(4\right)\left(-0,01\right)\)
tức là \(\sqrt{3,99}=\sqrt{4-0,01}\approx\sqrt{4}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\left(-0,01\right)=1,9975\).