Bài 4: Vi phân

1. Định nghĩa vi phân

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\), xác định trên khoảng \(\left(a;b\right)\) và có đạo hàm tại điểm \(x_0\in\left(a;b\right)\). Giả sử \(\Delta x\) là số gia của \(x\).

Ta gọi tích \(f'\left(x\right)\Delta x\) là vi phân của hàm số  \(y=f\left(x\right)\) tại \(x\) ứng với số gia \(\Delta x\), ký hiệu \(dy\) hoặc \(df\left(x\right)\), tức là

             \(dy=df\left(x\right)=f'\left(x\right)\Delta x\).

Chú ý: Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số \(y=x\) ta có

                      \(dx=d\left(x\right)=\left(x\right)'\Delta x=1.\Delta x=\Delta x\)

            Do đó với hàm số \(y=f\left(x\right)\) ta có

                      \(dy=df\left(x\right)=f'\left(x\right)dx\)

Ví dụ 1: Tính vi phân của các hàm số sau:

     a) \(y=x^3-5x+1\)  ;

     b) \(y=\sin^3x\).

Giải:

a) \(y=x^3-5x+1\) , \(y'=3x^2-5\)

   Vậy \(dy=d\left(x^3-5x+1\right)=y'dx=\left(3x^2-5\right)dx\)

b) \(y=\sin^3x\) , \(y'=3\sin^2x\cos x\)

   Vậy \(dy=d\left(\sin^3x\right)=y'dx=3\sin^2x\cos xdx\).

Ví dụ 2: Tính vi phân của các hàm số:

      a) \(y=\dfrac{\sqrt{x}}{a+b}\) (\(a,b\) là các hằng số) ;

      b) \(y=\left(x^2+4x+1\right)\left(x^2-\sqrt{x}\right)\) ;

      c) \(y=\dfrac{\cos x}{1-x^2}\).

Giải:

a) \(y=\dfrac{\sqrt{x}}{a+b}\)

   Ta có: \(y'=\dfrac{1}{a+b}\left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\left(a+b\right)\sqrt{x}}\)

   Vậy \(dy=d\left(\dfrac{\sqrt{x}}{a+b}\right)=y'dx=\dfrac{1}{2\left(a+b\right)\sqrt{x}}dx\).

b) \(y=\left(x^2+4x+1\right)\left(x^2-\sqrt{x}\right)\)

   Ta có: \(y'=\left(x^2+4x+1\right)'\left(x^2-\sqrt{x}\right)+\left(x^2+4x+1\right)\left(x^2-\sqrt{x}\right)'\)

                  \(=\left(2x+4\right)\left(x^2-\sqrt{x}\right)+\left(x^2+4x+1\right)\left(2x-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)\)

    Vậy \(dy=y'dx=\left[\left(2x+4\right)\left(x^2-\sqrt{x}\right)+\left(x^2+4x+1\right)\left(2x-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)\right]dx\).

c) \(y=\dfrac{\cos x}{1-x^2}\)

    Ta có: \(y'=\dfrac{\left(\cos x\right)'\left(1-x^2\right)-\cos x.\left(1-x^2\right)'}{\left(1-x^2\right)^2}=\dfrac{-\sin x\left(1-x^2\right)-\cos x.\left(-2x\right)}{\left(1-x^2\right)^2}\)

                   \(=\dfrac{\left(x^2-1\right)\sin x+2x\cos x}{\left(1-x^2\right)^2}\)

     Vậy \(dy=y'dx=\dfrac{\left(x^2-1\right)\sin x+2x\cos x}{\left(1-x^2\right)^2}dx\)

2. Ứng dụng vi phân tính gần đúng

Theo định nghĩa đạo hàm ta có:

               \(f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) 

Do đó với \(\left|\Delta x\right|\) đủ nhỏ thì 

               \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\approx f'\left(x_0\right)\) hay \(\Delta y\approx f'\left(x_0\right)\Delta x\)

Từ đó ta có \(f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)\approx f'\left(x_0\right)\Delta x\)

hay \(f\left(x_0+\Delta x\right)\approx f\left(x_0\right)+f'\left(x_0\right)\Delta x\)

Đó là công thức tính gần đúng đơn giản nhất.

Ví dụ 3: Tính giá trị gần đúng của \(\sqrt{3,99}\).

Giải:

Đặt \(f\left(x\right)=\sqrt{x}\) , ta có \(f'\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)

Theo công thức tính gần đúng, với \(x_0=4,\Delta x=-0,01\) ta có

      \(f\left(3,99\right)=f\left(4-0,01\right)\approx f\left(4\right)+f'\left(4\right)\left(-0,01\right)\)

tức là \(\sqrt{3,99}=\sqrt{4-0,01}\approx\sqrt{4}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\left(-0,01\right)=1,9975\).