đề thiếu bạn ơi cái này phải áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau 

Bạn ơi đề bài có vậy thôi nha.

Bạn chỉ mình cách dãy tỉ số bằng nhau đc ko ạ???

\(x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow x^2,y^2,z^2\le1\Rightarrow-1\le x,y,z\le1\)

Ta có:\(x^3+y^3+z^3-x^2-y^2-z^2=0\)

\(\Rightarrow x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)+z^2\left(z-1\right)=0\)

Vì \(x-1\le0,y-1\le0,z-1\le0\)

\(\Rightarrow x^2\left(x-1\right)\text{​​}\le0,y^2\left(y-1\right)\le0,z^2\left(z-1\right)\le0\)

\(\Rightarrow x^2\left(x-1\right)\text{​​}+y^2\left(y-1\right)+z^2\left(z-1\right)\le0\)

Dấu "=" xảy ra khi\(\left\{{}\begin{matrix}x^2\left(x-1\right)=0\\y^2\left(y-1\right)=0\\z^2\left(z-1\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x,y,z\right)\) là bộ (0,0,1) và các hoán vị

\(\Rightarrow x^{2021}+y^{2021}+z^{2021}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\)bài toán trở thành : \(a+b+c=\frac{1}{13};ab+bc+ca=1\)

Tính \(a^2+b^2+c^2\)

Ta có : \(\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{169}< =>a^2+b^2+c^2=\frac{1}{169}-2=-\frac{337}{169}\)

cái kq âm nên loại giùm mình nhé =) cái bt ấy k có giá trị nào thỏa mãn hết chơnnnn

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x^2+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Tương tự:

$y^2+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

$z^2+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Cộng theo vế:

$A\geq 9\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ (đây chính là $A_{\min}$)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=1\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)=x+y+z\)

<=>\(\frac{x^2+x\left(y+z\right)}{y+z}+\frac{y^2+y\left(z+x\right)}{z+x}+\frac{z^2+z\left(x+y\right)}{x+y}=x+y+z\)

<=>\(\frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{z+x}+y+\frac{z^2}{x+y}+z=x+y+z\)

<=>\(S=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}=0\)

 x/(y+z)+y/(x+z)+z/(x+y)=1

=>\(\frac{x^2}{\left(y+z\right)^2}\)+\(\frac{y^2}{\left(x+z\right)^2}\)+\(\frac{z^2}{\left(x+y\right)^2}\)+2(\(\frac{xy}{\left(y+z\right)\cdot\left(x+z\right)}\)+\(\frac{yz}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}\)+\(\frac{zx}{\left(z+y\right)\cdot\left(x+y\right)}\))=1