Lời giải:

$a^{2018}+b^{2018}=a^{2020}+b^{2020}$

$\Leftrightarrow a^{2018}(a^2-1)+b^{2018}(b^2-1)=0(*)$

Xét các TH sau:

TH1: $a^2-1>0; b^2-1>0\Leftrightarrow (a-1)(a+1)>0; (b-1)(b+1)>0$

$\Leftrightarrow a>1; b>1$

$\Rightarrow a^{2018}(a^2-1)+b^{2018}(b^2-1)>0$ (trái với $(*))$

TH2: $a^2-1< 0; b^2-1< 0$ thì $a^{2018}(a^2-1)+b^{2018}<0$ (trái với $(*))$

TH3: $b^2-1\leq 0\leq a^2-1$ (TH $b^2-1>0>a^2-1$ tương tự do vai trò $a,b$ như nhau)

$\Rightarrow b\leq 1\leq a\Rightarrow b^2\leq a^2$

Từ $(*)\Rightarrow 0=a^{2018}(a^2-1)+b^{2018}(b^2-1)\geq b^{2018}(a^2-1)+b^{2018}(b^2-1)$

$\Leftrightarrow 0\geq b^{2018}(a^2+b^2-2)$

$\Leftrightarrow a^2+b^2\leq 2$

Do đó, theo BĐT AM-GM:

$P=a^2+b^2+2+2(a+b)\leq a^2+b^2+2+2\sqrt{2(a^2+b^2)}\leq 2+2+2\sqrt{2.2}=8$

Vậy $P_{\min}=8$ khi $a=b=1$

gọi số cần tìm là a.ta có:a=4n+3

                                         =17m+9

                                         =19k+13

\(\Rightarrow a+25=4n+3+25=4n+28=4\left(n+7\right)⋮4\)   

                       \(=17m+9+25=17m+34=17\left(m+2\right)⋮17\) 

                         \(=19k+13+25=19k+38=19\left(k+2\right)⋮19\)

\(\Rightarrow a+25⋮17,4,19\)

\(\Rightarrow a+25⋮1292\)

\(\Rightarrow a=1292k-25\)\(=1292\left(k-1\right)+1267\)

do 1267<1292 nên số dư của phép chia là 1267

2,

gọi ƯCLN[2n+1,2n(n+1)] là d

\(\Rightarrow2n+1⋮d,2n\left(n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n\left(2n+1\right)⋮d,2n^2+2n⋮d\)

\(\Rightarrow2n^2+n⋮d,2n^2+2n⋮d\)

\(\Rightarrow\left(2n^2+2n\right)-\left(2n^2+n\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n⋮d\)

MÀ \(2n+1⋮d,n⋮d\Rightarrow2n⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

suy ra đpcm

thank you bạn nhiều nha !!!!!!!!!!!!

a ,              Gọi số đó là a , có :

         a=4xk+3 suy ra a-3chia het cho 4 ,suy ra a-3+28 chia ret cho 4 , suy ra a +25 chia het cho4 (k thuoc Z)

         a=17xm+9 suy ra a-9 chia het cho17 ,suy ra a-9+34chia het cho17, suy ra a+25chia het cho17(m thuoc Z)

         a=19xn+13 ,suy ra a-13chia het cho19suy ra a+38-13 chia het cho19, suy ra a+25 chia het cho 19(n thuoc Z)

tu cac dieu tren suy ra a+25thuoc BC(4,17,19) 

ma 4 ,17,19 ng to cung nhau ,suy ra a+25 chia het choBCNN( 4,17,19)=4x17x19=1292

co a+25 chia het 1292

    a+25-1292 chia het cho 1292

    a-1267 chia het cho1292

Vay a chia 1292 du 1267 

(BAN TU THAY KI HIEU VAO VAO CHU :chia het ,...)

Bài 1: 

b) Ta có: \(\left(2n-3\right)\left(2n+3\right)-4n\left(n-9\right)\)

\(=4n^2-9-4n^2+36n\)

\(=36n-9⋮9\)

Bài 2:

a, Gọi \(d=ƯCLN\left(3n+1,3n+10\right)\)

\(\Rightarrow3n+1⋮d;3n+10⋮d\\ \Rightarrow3n+10-3n-1⋮d\\ \Rightarrow9⋮d\)

Mà d lớn nhất nên \(d=9\)

Vậy ...

b, Gọi \(d=ƯCLN\left(2n+1,n+3\right)\)

\(\Rightarrow2n+1⋮d;n+3⋮d\\ \Rightarrow2n+1-2n-6⋮d\\ \Rightarrow-5⋮d\)

Mà d lớn nhất nên \(d=5\)

Vậy ...

Bài 2: 

Sửa đề: chia 23 dư 7

Vì a chia 17 dư 1 nên a-16 chia hết cho 17

Vì a chia 23 dư 7 nên a-16 chia hết cho 23

Vậy: a chia 391 dư 16