\(y^2+2xy-3x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+2xy+x^2\right)-\left(x^2+3x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x+1=0\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=1\end{matrix}\right.\). 

Nếu \(x+2=0\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=2\end{matrix}\right.\)

Thử lại, ta thấy thỏa mãn. Vậy ta tìm được các cặp số \(\left(x;y\right)\) thỏa mãn đề bài là \(\left(-1;1\right),\left(-2;2\right)\)

pt <=> 4x^2=52x+4y^2+52y=0

<=> (2x-13)^2+(2y+13)^2=2.13^2

Đến đây bạn chặn nó là SCP <=2.13^2 là xong

Lời giải:

Không mất tính tổng quát. Giả sử \(x\geq y\Rightarrow 2x\geq 2017\Rightarrow x\geq 1009\) (do \(x\) nguyên dương)

Thực hiện biến đổi P

\(P=x(x^2+y)+y(y^2+x)=(x^3+y^3)+2xy\)

\(\Leftrightarrow P=(x+y)(x^2-xy+y^2)+2xy\)

\(\Leftrightarrow P=2017(x^2-xy+y^2)+2xy=2017(x+y)^2-6049xy\)

\(\Leftrightarrow P=2017^3-6049xy=2017^3-6049x(2017-x)\)

\(\Leftrightarrow P=6049x^2-6049.2017xy+2017^3\)

Tìm max:

Tiếp tục biến đổi :\(P=6049(x-1)(x-2016)+2017^3-2016.6049\)

Vì \(x\)  nguyên dương \(\Rightarrow x\geq 1\)

\(y\geq 1\Rightarrow x=2017-y\leq 2016\)

Do đó \((x-1)(x-2016)\leq 0\Rightarrow P\leq 2017^3-2016.6049\)

Vậy \((Max) P=2017^3-2016.6049\Leftrightarrow (x,y)=(2016,1)\) và hoán vị

Tìm min: 

Biến đổi \(P=6049(x-1008)(x-1009)+2017^3-1008.1009.6049\)

Vì \(x\geq 1009\Rightarrow (x-1008)(x-1009)\geq 0\), do đó \(P\geq 2017^3-1008.1009.6049\)

Vậy \((Min)P=2017^3-6049.1008.1009\Leftrightarrow (x,y)=(1009,1008)\) và hoán vị.

Ta có \(\left(x+y\right)^3=\left(x-y-6\right)^2\left(1\right)\)

Vì x,y nguyên dương nên

\(\left(x+y\right)^3>\left(x+y\right)^2\)kết hợp (1) ta được:

\(\left(x-y-6\right)^2>\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x-y-6\right)^2< 0\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(y+3\right)< 0\)

Mà y+3 >0 (do y>0)\(\Rightarrow x-3< 0\Leftrightarrow x< 3\)

mà \(x\inℤ^+\)\(\Rightarrow x\in\left\{1;2\right\}\)

*x=1 thay vào (1) ta có:

\(\left(1+y\right)^3=\left(1-y-6\right)^2\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1=y^2+10y+25\Leftrightarrow\left(y-3\right)\left(y^2+5y+8\right)=0\)

mà \(y^2+5y+8=\left(y+\frac{5}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}>0\)

\(\Rightarrow y-3=0\Leftrightarrow y=3\inℤ^+\)

*y=2 thay vào (1) ta được: 

\(\left(2+y\right)^3=\left(2-y-6\right)^2\Leftrightarrow y^3+6y^2+12y+8=y^2+8y+16\Leftrightarrow y^3+5y^2+4y-8=0\)

Sau đó cm pt trên không có nghiệm nguyên dương.

Vậy x=1;y=3

pt <=> 9x^2+3y^2+12xy+12x+6y+15 = 0

<=> [(9x^2+12xy+4y^2)+2.(3x+2y).2+4] - (y^2+2y+1) + 12 = 0

<=> [(3x+2y)^2+2.(3x+2y).2+4] -(y+1)^2 = -12

<=> (3x+2y+2)^2 - (y+1)^2 = -12

<=> (3x+2y+2+y+1).(3x+2y+2-y-1) = -12

<=> (3x+3y+3).(3x+y+1) = -12

<=> (x+y+1).(3x+y+1) = -4

Đến đó bạn dùng quan hệ ước bội cho các số nguyên mà giải nha !

Tk mk nha