cho \(a,b,c\ne0\) biết \(x,y,z\) thỏa mãn:\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}\) .Tính \(x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}\)
Tính P=\(x^{2014}+y^{2015}+z^{2016}\) biết x,y,z thỏa mãn điều kiện sau:
\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)
\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}\right)+\left(\frac{y^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}\right)+\left(\frac{z^2}{c^2}-\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2.\frac{b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}\right)+\left(y^2.\frac{a^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}\right)+\left(z^2.\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+c^2}\right)=0\)
Vì a,b,c khác
=>Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=0
\(\Rightarrow x^{2014}+y^{2015}+z^{2016}=0^{2014}+0^{2015}+0^{2016}=0\)
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=2015\)
Tìm GTNN của T=\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn:\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{x^2+z^2}=2015\)
tìm GTNN của bt: T= \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
bn tìm đề thi hsg tỉnh thanh hóa lớp 9 năm nào đó là thấy
bài này dài,ngại làm
đặt là được
Câu hỏi của Hoàng Gia Anh Vũ - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Cho các số \(a,b,c\ne0\). Tính \(M=x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}\). Biết x,y,z thỏa mãn \(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)
Ta có:
\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}\right)+\left(\frac{y^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}\right)+\left(\frac{z^2}{c^2}-\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2.\frac{b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+y^2.\frac{a^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+z^2.\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+c^2}=0\)
Vì a, b, c khác 0 nên dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=0\)
\(\Rightarrow M=x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}=0^{2016}+0^{2016}+0^{2016}=0\)
Cho a; b; c; x; y; z và \(x^2-yz\ne0;y^2-xz\ne0;z^2-xy\ne0\) thỏa mãn \(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-xz}{b}=\frac{z^2-xy}{c}\) . CMR \(\frac{a^2-bc}{x}=\frac{b^2-ca}{y}=\frac{c^2-ab}{z}\)
ta có: \(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-xz}{b}=\frac{z^2-xy}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{x^2-yz}=\frac{b}{y^2-xz}=\frac{c}{z^2-xy}\Rightarrow\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}=\frac{b^2}{\left(y^2-xz\right)^2}=\frac{c^2}{\left(z^2-xy\right)^2}\) (1)
=> \(\frac{a}{\left(x^2-yz\right)}.\frac{a}{\left(x^2-yz\right)}=\frac{b}{y^2-xz}.\frac{c}{z^2-xy}=\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}=\frac{bc}{\left(y^2-xz\right).\left(z^2-xy\right)}\)
a^2/(x^2-yz)^2 = (a^2-bc)/[(x^2-yz)^2 - (y^2-xz)(z^2-xy)] = (a^2-bc)/[x (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)] =>
(a^2-bc)/x = [a^2/(x^2 - yz)^2] * (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) (2)
Thực hiện tương tự ta cũng có
(b^2-ac)/y = [b^2/(y^2 - xz)^2] * (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) (3)
(c^2-ab)/z = [c^2/(z^2 - xy)^2] * (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) (4)
Từ (1),(2),(3),(4) => (a^2-bc)/x = (b^2-ac)/y = (c^2-ab)/z.
1)Cho x+y+z = 2015 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2015}\)
CMR: x,y,z pải có 1 số = 2015
2)ab+bc+ca = 2015 và a,b,c thuộc Z
CM: (a2+2015)(b2+2015)(c2+ 2015) là số chính phương
câu 2 :
ab+ bc + ca = 2015
=> 2015 +a^2 = a^2 + ab + bc + ca
=> 2015 + a^2 = a(a+b ) + c( a + b ) = ( a + c )( a + b)
Tương tự : 2015+b^2 = ( b + c )(b +a )
2015 + c^2 = ( c + a )(c + b ) thay vào ta có :
( 2015 + a^2)(2015 + b^2 ) (2015 +c^2) = (a + c )(a+b)(b+c)(b+a)(c+a)(c+b) = [(a+c)(a+b)(b+c) ]^2 là số chính phương
Câu 1 ) :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2015}\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2015}-\frac{1}{z}=\frac{z-2015}{2015z}\)
=> \(\frac{x+y}{xy}=\frac{z-2015}{2015z}\)
=> \(2015z\left(x+y\right)=\left(z-2015\right)xy\)
=> \(2015z\left(2015-z\right)-\left(z-2015\right)xy\) = 0
=> \(\left(2015-z\right)\left(2015z-xy\right)\)= 0
=> \(\left(2015-z\right)\left(2015\left(2015-x-y\right)-xy\right)=0\)
=> \(\left(2015-z\right)\left(2015^2-2015x-2015y-xy\right)=0\)
=> \(\left(2015-z\right)\left(2015-x\right)\left(2015-y\right)=0\)
=> 2015 - z = 0 hoặc 2015 -x = 0 hoặc 2015 - y = 0
=> z = 2015 hoặc x= 2015 hoặc y = 2015
Vậy trong ba số có ít nhất 1 số bằng 2015
Câu này olm phải chọn câu dưới em vừa làm vừa nghĩ
Cho \(a;b;c\ne0\)
Tính\(D=x^{2107}+y^{2017}+z^{2107}\)
Biết x;y;z thõa mãn
\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)
a/ Cho a,b,c thỏa mãn : a+b+c=0 và a^2+b^2+c^2=14
tính A khi A= a^4+b^4+c^4
b/ cho a,b,c khác 0. Tính D= x^2011+y^2011+z^2011
biết x,y,z thỏa mãn :\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)
a)Ta có: ab+ac+bc=-7 (ab+ac+bc)^2=49
nên
(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2=49
nên a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2−2(ab)^2−2(ac)^2−2(bc^)2=98
b) (x^2+y^2+z^2)/(a^2+b^2+c^2)=
=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 <=>
x^2+y^2+z^2=x^2+(a^2/b^2)y^2+
+(a^2/c^2)z^2+(b^2/a^2)x^2+y^2+
+(b^2/c^2)z^2+(c^2/a^2)x^2+
+(c^2/b^2)y^2+z^2 <=>
[(b^2+c^2)/a^2]x^2+[(a^2+c^2)/b^2]y^2+
+[(a^2+b^2)/c^2]z^2 = 0 (*)
Đặt A=[(b^2+c^2)/a^2]x^2; B=[(a^2+c^2)/b^2]y^2;
và C=[(a^2+b^2)/c^2]z^2
Vì a,b,c khác 0 nên suy ra A,B,C đều không âm
Từ (*) ta có A+B+C=0
Tổng 3 số không âm bằng 0 thì cả 3 số đều phải bằng 0,tức A=B=C=0
Vì a,b,c khác 0 nên [(b^2+c^2)/c^2]>0 =>x^2=0 =>x=0
Tương tự B=C=0 =>y^2=z^2=0 => y=z=0
Vậy x^2011+y^2011+z^2011=0
Và x^2008+y^2008+z^2008=0.
Cho 3 số dương x , y , z thỏa mãn điều kiện :
\(xy+yz+zx=2015\) và :
\(P=x\sqrt{\frac{\left(2015+y^2\right)\left(2015+z^2\right)}{2015+x^2}+y\sqrt{\frac{\left(2015+x^2\right)\left(2015+z^2\right)}{2015+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(2015+x^2\right)\left(2015+y^2\right)}{2015+z^2}}}\)
Chứng minh rằng P không phải là số chính phương .
Ta có\(x\sqrt{\frac{\left(2015+y^2\right)\left(2015+z^2\right)}{2015+x^2}}=x\sqrt{\frac{\left(xy+yz+zx+y^2\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)}{xy+yz+zx+x^2}}\)
\(=x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}=xy+xz\)
Tương tự:\(y\sqrt{\frac{\left(2015+x^2\right)\left(2015+z^2\right)}{2015+y^2}}=yx+yz\)
\(z\sqrt{\frac{\left(2015+x^2\right)\left(2015+y^2\right)}{2015+z^2}}=zx+zy\)
Ta có :\(P=xy+xz+yx+yz+zx+zy=2\left(xy+yz+zx\right)=4030\)
=>P không phải là số chính phương