a) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Do tam giác ABC là tam giác đều nên O đồng thời là trọng tâm tam giác đều ABC.

Lại có:

+ O là trọng tâm tam giác nên 

+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Ta có: NA2 + NB2 + NC2 ngắn nhất

⇔ NO2 ngắn nhất vì R không đổi

⇔ NO ngắn nhất

⇔ N là hình chiếu của O trên d.

a, Gọi I là trọng tâm của ΔABC

⇒ \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)

MA² + MB² + MC² = k²

⇔ 3MI² + 2\(\overrightarrow{MI}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)+AB^2+AC^2+BC^2\) = k²

⇔ 3MI² = k² - 1014

⇔ MI = \(\sqrt{\dfrac{k-1014}{3}}\) = const

Vậy M thuộc \(\left(I;\sqrt{\dfrac{k-1014}{3}}\right)\)

Đáp án C.

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, với O(0;0;0) là trung điểm của AB => OC=  3

Khi đó 

⇒ x 2 + ( y + 1 ) 2 + z 2 + x 2 + ( y - 1 ) 2 + z 2 + 2 ( x - 3 ) 2 + 2 y 2 + 2 z 2 = 12

Vậy tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính  R = 7 2

Chọn A

Gọi  là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra: G(2;-2;2)

Do tổng GA² + GB² + GC² không đổi nên MA² + MB² + MC² đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi GM² nhỏ nhất

Mà S nằm trên mặt phẳng (Oyz) nên M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (Oyz). Suy ra: M(0;-2;2)

Vậy P = x+y+z = 0 + (-2) + 2 = 0

Gọi M(x, y)

⇒ MA2 = (x – 1)2 + (y – 2)2

MB2 = (x + 3)2 + (y – 1)2

MC2 = (x – 4)2 + (y + 2)2

MA2 + MB2 = MC2

⇔ (x – 1)2 + (y – 2)2 + (x + 3)2 + (y – 1)2 = (x – 4)2 + (y + 2)2

⇔ [(x – 1)2 + (x + 3)2 – (x – 4)2] + [(y – 2)2 + (y – 1)2 – (y + 2)2] = 0

⇔ (x2 – 2x +1 +x2 + 6x + 9 – x2 + 8x -16) + (y2 – 4y + 4 + y2 – 2y + 1 – y2 – 4y – 4) = 0

⇔ (x2 + 12x – 6) + (y2 – 10y + 1) = 0

⇔ (x2 + 12x – 6 +42) + (y2 – 10y + 1+ 24) = 42 +24

⇔ (x2 + 12x + 36) + (y2 – 10y + 25) = 66

⇔ (x + 6)2 + (y – 5)2 = 66.

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(–6; 5), bán kính R = √66.