@NTMH

Ta chứng minh \(P\ge\frac{9}{2}\). Ta đã có: \(\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\ge\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}\)

Vậy cần chứng minh \(\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+ab}+\frac{b^{2}+c^{2}} {a^{2}+bc}+\frac{c^{2}+a^{2}}{b^{2}+ac}\geq 3\)

\(\Leftrightarrow a^{2}(\frac{1}{c^{2}+ab}+\frac{1}{b^{2}+ac)}+b^{2}(\frac{1}{c^{2}+ab}+\frac{1}{a^{2}+bc})+c^{2}( \frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ac})\)

\(\geq \frac{4a^{2}}{(a+b)(b+c)}+\frac{4b^{2}}{(c+a)(c+b) }+\frac{4c^{2}}{(a+b)(a+c)}\)

\(\geq \frac{4(a+b+c)^{2}}{(a+b)(b+c)+(c+a)(c+b)+(a+c)(a+ b)}\geq 3\)

BĐT đã được chứng minh

Vậy ta có \(P_{min}=\frac{9}{2}\) khi \(a=b=c\)

Bạn tham khảo tại đây:

Câu hỏi của Ngô Ngọc Anh - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

ÁP dụng BĐT cô-si, ta có \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\ge\frac{3}{2}\)

Mà \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}\ge\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{2c^2+a^2+b^2}\)

Tương tự, ta có 

\(\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2}{b^2+ac}\ge2\left(\frac{a^2+b^2}{a^2+c^2+b^2+c^2}+...\right)\)

Đặt \(\left(a^2+b^2;...\right)=\left(x;y;z\right)\)

Ta có VT\(\ge\frac{3}{2}+2\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)=\frac{3}{2}+2\left(\frac{x^2}{xy+zx}+\frac{y^2}{ỹ+yz}+\frac{z^2}{zx+zy}\right)\)

=> \(VT\ge\frac{3}{2}+2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}\)

=> \(A\ge\frac{9}{2}\left(ĐPCM\right)\)

Dấu = xảy ra <=> a=b=c>0

Giả sử b=  min {a,b,c}

\(VT\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{\frac{2\left(a+b+c\right)^3}{27}}+\frac{1}{2}\left(\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{ab+c^2}+\Sigma\frac{\left(a-b\right)^2}{ab+c^2}\right)\)

\(\ge\left[\frac{27\left(a^3+b^3+c^3\right)}{2\left(a+b+c\right)^3}+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(ab+bc+ca+a^2+b^2+c^2\right)}\right]\)

Sau khi quy đồng ta cần chứng minh biểu thức sau đây không âm:

Đó là điều hiển nhiên vì b = min {a,b,c}

\(P=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+\frac{a^2c+b^2c}{c^3+abc}+\frac{b^2a+c^2a}{a^3+abc}+\frac{c^2b+a^2b}{b^3+abc}\)

\(\ge\frac{a^3}{2abc}+\frac{b^3}{2abc}+\frac{c^3}{2abc}+\frac{2abc}{c^3+abc}+\frac{2abc}{a^3+abc}+\frac{2abc}{b^3+abc}\)

\(=\left(\frac{a^3}{2abc}+\frac{2abc}{a^3+abc}\right)+\left(\frac{b^3}{2abc}+\frac{2abc}{b^3+abc}\right)+\left(\frac{c^3}{2abc}+\frac{2abc}{c^3+abc}\right)\)

Xét: \(\frac{a^3}{2abc}+\frac{2abc}{a^3+abc}=\frac{a^3}{2abc}+\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{a^3}{2abc}+\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}\ge2\sqrt{\left(\frac{a^3}{2abc}+\frac{1}{2}\right).\frac{1}{\frac{a^3}{2abc}+\frac{1}{2}}}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

Tương tự với 2 cặp còn lại

Vậy ta có: \(P\ge\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)

"=" xảy ra <=> a=b=c

kết bạn với mình

Cảm ơn chị Nguyễn Linh Chi :)))

BĐt phụ : \(\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\)

c/m :\(3a^2-3ab+3b^2\ge a^2+ab+b^2\)

↔\(2a^2-4ab+2b^2\ge0\)

↔\(2\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Giải ;

ta có:\(\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3-a^3}{c^2+ac+a^2}=\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)=0\)

→\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}\)(1)

mà \(\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\)

↔\(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\)

tương tự ta có:\(\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{1}{3}\left(b+c\right)\);\(\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+c\right)\)

cộng vế vs vế ta có:

\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}+\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\)

từ (1)→\(2\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\)

↔ \(S\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)=1\)(đặt S luôn cho tiện)

dấu = xảy ra khi BĐt ở đầu đúng :\(\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\)mà a+b+c=3↔a=b=c=1