\(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)=n^2+5n-n^2-2n+3n+6=6n+6=6\left(n+1\right)⋮6\)

Đặt A = n.(n+1).(2n+1).(3n+1).(4n+1)

+, Nếu n chia 5 dư 1 => 4n+1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

+, Nếu n chia 5 dư 2 => 3n+1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

+, Nếu n chia 5 dư 3 => 2n+1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

+, Nếu n chia 5 dư 4 => n+1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

+, Nếu n chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

Vậy A luôn chia hết cho 5

Tk mk nha

-Xét n có dạng 5k thì tích có n chia hết cho 5 nên chia hết cho 5

-Xét n có dạng 5k+1 thì 4n +1=4x(5k+1)+1=20k+4+1=20k+5 chia hết cho 5.Vậy tích cũng chia hết cho 5

-Xét n có dạng 5k+2 thì 2n+1=2x(5k+2)+1=10k +4+1=10k+5 chia hết cho 5.Vậy tích chia hết cho 5

-Xét n có dạng 5k+3 thì 3n+1=3x(5k+3)+1=15k+9+1=15k+10 chia hết cho 5.Vậy tích chia hết cho 5

-Xét n có dạng 5k+4 thì n+1=5k+4+1=5k+5 chia hết cho 5.Vậy tích chia hết cho 5

Từ các trường hợp trên,suy ra tích nx(n+1)x(2n+1)x(3n+1)x(4n+1)chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n

Ta có:

Nếu n:5 (dư 1) thì ⇒4n+1 chia hết cho 5

Nếu n:5 (dư 2) thì ⇒3n+1 chia hết cho 5

Nếu n:5 (dư 3) thì ⇒2n+1 chia hết cho 5

Nếu n:5 (dư 4) thì ⇒  n+1 chia hết cho 5

⇒Với mọi số tự nhiên thì A luôn chia hết cho 5

Vậy A luôn chia hết cho 5

      Đây là toán nâng cao chuyên đề chia hết, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp đánh giá như sau:

         Bài 1: CM A = n² + n + 6 ⋮ 2 

+ TH1: Nếu n là số chẵn ta có: n = 2k (k \(\in\) N)

  Khi đó: A = (2k)² + 2k + 6 

              A = 4k² + 2k + 6

             A =  2.(2k² + k + 3)  ⋮ 2

+ TH2: Nếu n là số lẻ ta có: n²; n đều là số lẻ

         Suy ra n² + n là chẵn vì tổng của hai số lẻ luôn là số chẵn

            ⇒  A = n² + n + 6 là số chẵn 

                A = n² + n + 6 ⋮ 2

+ Từ các lập luận trên ta có: A = n² + n + 6 ⋮ 2 \(\forall\) n \(\in\) N

Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề tính chất chia hết của một tổng, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp quy nạp toán học như sau:

Bài 2: CM:  A = n³ + 5n ⋮6 ∀ \(n\) \(\in\) N

          Với n = 1 ta có: A = 1³ + 1.5 

                A = 1 + 5 = 6 ⋮ 6

          Giả sử A đúng với n = k (k \(\in\) N)

          Khi đó ta có: A  = k³ + 5k ⋮ 6 \(\forall\) k \(\in\) N ⁽¹⁾

          Ta cần chứng minh A = n³ + 5n ⋮ 6 với n = k  + 1

          Tức là ta cần chứng minh: A = (k + 1)³ + 5.(k + 1) ⋮ 6

Thật vậy với n = k + 1 ta có: 

       A = (k  + 1)³ + 5(k + 1) 

      A = (k  +1).(k  + 1)(k + 1) + 5.(k  +1)

     A = (k² + k + k  +1).(k + 1) + 5k  +5

     A =  [k² + (k + k) + 1].(k + 1) + 5k + 5

    A = [k² + 2k + 1].(k + 1) + 5k + 5

   A = k³ + k² + 2k² + 2k + k  +1  +5k  +5

   A  = (k³ + 5k) + (k² + 2k²) + (2k + k) + (1 + 5) 

    A = (k³ + 5k) + 3k² + 3k + 6

   A = (k³ + 5k) + 3k(k +1) + 6

   k.(k  +1) là tích của hai số liên tiếp nên luôn chia hết cho 2

 ⇒ 3.k.(k + 1) ⋮ 6 ⁽²⁾

     6 ⋮ 6 ⁽³⁾

Kết hợp (1); (2) và (3) ta có:

    A = (k³ + 5k) + 3k(k + 1) + 6 ⋮ 6 ∀ k \(\in\) N

Vậy A = n³ + 5n ⋮ 6 \(\forall\) n \(\in\) N (đpcm) 

                           Bài 3: 

Đây là toán nâng cao chuyên đề tính chất chia hết của một tích, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp đánh giá như sau:

                               Giải:

A = (n + 2013²⁰¹²).( n + 2012²⁰¹³)

TH1: Nếu n  là số chẵn ta có:

    2012 là số chẵn nên 2012²⁰¹³ là số chẵn suy ra n + 2012¹³ là số chẵn. Mà số chẵn thì luôn chia hết cho 2

Vậy A = (n + 2013²⁰¹²).(n + 2012²⁰¹³) ⋮ 2 \(\forall\) n là số chẵn (1)

TH2: Nếu n là số lẻ ta có:

   2013 là số lẻ nên 2013²⁰¹² là số lẻ khi đó ta có 

  n + 2013²⁰¹² là số chẵn vì tổng của hai số lẻ là một số chẵn mà số chẵn thì luôn chia hết cho 2

Vậy A = (n + 2013²⁰¹²).(n + 2012²⁰¹³) ⋮ 2 \(\forall\) n là số lẻ (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

A = (n + 2013²⁰¹²).(n + 2012²⁰¹³) ⋮ 2 ∀ n \(\in\) N

Ta có : \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Vì n là số nguyên , n(n+1)(n+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3

Mà (2,3) = 1 => n(n+1)(n+2) chia hêt cho 2x3 = 6

Hay \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\)luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

TH1 : n là số chẵn

→ n chia hết cho 2

→ n có dạng 2k

→ n . ( n + 15 )

= 2k . ( n + 15 ) chia hết cho 2 ( Vì 2k chia hết cho 2 )

→ n . ( n + 15 ) chia hết cho 2

TH2 : n là số lẻ

→ n chia 2 dư 1

→ n có dạng 2k + 1

→ n . ( n + 15 )

= n . ( 2k + 1 + 15 )

= n . ( 2k + 16 )

= 2n . ( k + 8 ) chia hết cho 2 ( Vì 2n chia hết cho 2 )

→ n . ( n + 15 ) chia hết cho 2

Vậy n . ( n + 15 ) chia hết cho 2 ∀ n ∈ N ( Điều phải chứng minh )

Bài 6:

a: \(8^5+2^{11}=2^{15}+2^{11}=2^{11}\cdot17⋮17\)

b: \(8^7-2^{18}=2^{21}-2^{18}=2^{18}\cdot7=2^{17}\cdot14⋮14\)

mình nghĩ đề là: \(n\left(n+1\right)\left(n+5\right)⋮3\)

Ta có: A=n(n+1)(n+5)

Xét n=3k thì:

A=3k(3k+1)(3k+5)\(⋮3\)

Xét n=3k thì A=(3k+1)(3k+1+1)(3k+1+5)=(3k+1)(3k+2)(3k+6)=(3k+1)(3k+2)3(k+2)\(⋮3\)

Tương tự Xét n=3k+2 thì A=(3k+2)(3k+2+1)(3k+2+5)=(3k+2)(3k+3)(3k+7)=(3k+2)(3k+3)3(k+7)\(⋮3\)

Vậy n(n+1)(n+5) chia hết cho 3

đề thiếu

chứng minh gì, chưa rõ thì làm sao mà giải