tìm các chữ số tận cùng của hai số trên ta có :

A=...3-...3=...0 Vì A có tận cùng là 0 =>A chia hết cho 5 (đpcm)

Ta có: \(A=999993^{1999}-555557^{1997}\)

\(=999993^{1998}.999993-555557^{1996}.555557\)

\(=\left(999993^2\right)^{999}.999993-\left(555557^2\right)^{998}.555557\)

\(=\left(...9\right)^{999}.999993-\left(...9\right)^{998}.555557\)

\(=\left(...9\right).999993-\left(...1\right).555557\)

\(=\left(...7\right)-\left(...7\right)\)\(=\left(...0\right)\)

Chữ số tận cùng của \(A=999993^{1999}-555557^{1997}\) là \(0\).

\(\Rightarrow\)\(A=999993^{1999}-555557^{1997}⋮5\)

Cho \(A=999993^{1999}-555557^{1997}\)

Vì \(^{1999}\) có dạng \(4n+3\) nên \(999993^{1999}=\overline{...7}\)

Vì \(^{1997}\) có dạng \(4n+1\) nên \(555557^{1997}=\overline{...7}\)

Ta có: \(\overline{...7}-\overline{...7}=\overline{...0}\)

\(\overline{...0}⋮5\) \(\Rightarrow\) \(A⋮5\)

Để A chia hết cho5 ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của mỗi số. 

Ta có :

 \(3^{1999}=\left(3^4\right)^{499}\times3^3=81^{499}\times27=......7\)

\(7^{1997}=\left(7^4\right)^{499}\times7=2041^{499}\times7=....7\)

Vậy  A có chữ số tận cùng là 0 nên A chia hết cho 5

Để A chia hết cho 5 thì A phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5

Ta có: (1) 999993¹⁹⁹⁹=(999993⁴)⁴⁹⁹. 999993³

Vì 999993⁴ có tận cùng là 1 suy ra (999993⁴)⁴⁹⁹ có tận cùng là 1

999993³ có tận cùng là 7 suy ra (999993⁴)⁴⁹⁹. 999993³ có tận cùng là 7 ( ta nhân 2 chữ số tận cùng lại với nhau 1.7=7)

(2) 555557¹⁹⁹⁷= (555557⁴)⁴⁹⁹ .7

Ta có 555557⁴ có tận cùng là 1 suy ra (555557⁴)⁴⁹⁹ có tận cùng là 1 nên (555557⁴)⁴⁹⁹.7 có tận cùng là 7

 Vậy chữ số tận cùng của A là 7-7=0. Từ đây ta kết luận A chia hết cho 5

Để chứng minh A chia hết cho 5, ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ sốtận cùng của từng số hạng.

Ta có: 3¹⁹⁹⁹ = ( 3⁴)⁴⁹⁹ . 3³= 81⁴⁹⁹. 27

Suy ra: 3¹⁹⁹⁹ có tận cùng là 7
7¹⁹⁹⁷ = ( 7⁴)⁴⁹⁹ .7 = 2041⁴⁹⁹ . 7 =>7 ¹⁹⁹⁷Có tận cùng là 7

Vậy A có tận cùng bằng 0 ,=>Achia hết cho 5

A=999993^1999-555557^1997=\(\left(....3^{1996+3}\right)-\left(....7^{1996+1}\right)=\left(....3^{1996}\right)x27-\left(.....7\right)^{1996}\)x7=(....1)x27-(....1)x7

=(....7)-(.....7)=(...0) chia hết cho 5(sử dụng chữ số tận cùng và tính chất chia hết cho 5)

Ta có:

\(A=999993^{1999}-555557^{1997}\)

\(A=999993^{1998}.999993-555557^{1996}.555557\)

\(A=\left(999993^2\right)^{999}.999993-\left(555557^2\right)^{998}.555557\)

\(A=\overline{\left(.....9\right)}^{999}.999993-\overline{\left(.....1\right)}.555557\)

\(A=\overline{\left(.....7\right)}-\overline{\left(.....7\right)}\)

\(A=\overline{\left(.....0\right)}\)

Vì A có tận cùng là 0

\(\Rightarrow A⋮5\) (Đpcm)

nhận thấy:
999993^1999 có chữ số tận cùng là 7 ( vì 1999 : 4 dư 3. ứng với 3 3 = 27 )
555557^1997.có chữ số tận cùng là 7 ( vì 1997 : 4 dư 1. ứng với 7 1 = 7 )
=> 999993^1999 - 555557^1997 có chữ số tận cùng là 0 =>Hiệu chia hết cho 5

Tick nha 

Ta có: 999993¹⁹⁹⁹=(...3)^499.4+3

                         =[(...3)⁴]⁴⁹⁹.(...3)³

                         =(...1)⁴⁹⁹.(...7)

                         =(...1).(...7)

                         =(...7)

Ta có: 555557¹⁹⁹⁷=(...7)^4.499+1

                           =[(...7)⁴]⁴⁹⁹.(...7)¹

                          =(...1)⁴⁹⁹.(...7)

                          =(...1).(...7) 

                         =(...7)

Vậy A=(...7)-(...7)=(...0)

Mà các số có CSTC là 0 thì chia hết cho 5

=>A chia hết cho 5(đpcm)

Ta co: 3^1999=(3^4)^499.3^=81^499.27

=>3^1999co tan cung la 7

7^1997=(7^4)=2041^499.7=>7^1997 co tan cung la 7

Vay A co tan cung la 0 =>A chia het cho 5

Số có tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa mũ 4n (n \(\in\) N) có tận cùng là 1.

Do đó \(999993^{1999}=999993^{4.499+3}=999993^{4.499}.999993^3=\left(...1\right).\left(...7\right)=\left(...7\right)\)

Số có tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa mũ 4n (n \(\in\) N) có tận cùng là 1.

Do đó \(555557^{1997}=555557^{4.499+1}=555557^{4.499}.555557^1=\left(...1\right).\left(...7\right)=\left(...7\right)\)

Vậy  A = 999993¹⁹⁹⁹ - 555557¹⁹⁹⁷ = (...7) - (...7) = (...0) có tận cùng là 0 nên chia hết cho 5.

Số có tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa 4n (n\(\inℕ\)) có tận cùng là 1.

Do đó 999993¹⁹⁹⁹=999993^4.499+3=999993^4.499.999993³=(...1)(...7)=(...7)

Số có tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa 4n (n\(\inℕ\)) có tận cùng là 1.

Do đó 555557¹⁹⁹⁷=555557^4.499+1=555557^4.499.555557¹=(...1)(...7)=(...7)

Vậy A=999993¹⁹⁹⁹ -555557¹⁹⁹⁷=(...7)-(...7)=(...0)\(⋮5\)