a: Vì 3 là số nguyên tố nên theo ĐỊnh lí nhỏ Fermat, ta được:

\(a^3-a⋮3\)

b: Vì 7 là số nguyên tố nên theo định lí nhỏ Fermat,ta được:

\(a^7-a⋮7\)

cho ba số tự nhiên liên tiếp, tích của hai số đầu nhỏ hơn tích của hai số sau là 50. Hỏi ba số đã cho là số nào?

chứng minh:

\(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)\) luôn chia hết cho 6 với mọi n

\(A=\left(3x-5\right)\left(2x+11\right)-\left(2x+3\right)\left(3x+7\right)\)

\(=6x^2+33x-10x-55-6x^2-14x-9x-21\)

\(=\left(6x^2-6x^2\right)+\left(33x-10x-14x-9x\right)-\left(55+21\right)\)

\(=-76\)

Vậy A không phụ thuộc vào biến x (đpcm)

Chứng minh thì còn được chứ n làm gì có dữ kiện gì đâu mà tìm

Vì 7 : 3 dư 1

=> 7ⁿ chia 3 dư 1ⁿ

=> 7ⁿ : 3 dư 1

Vì 2 chia 3 dư 2

=> (7ⁿ + 2) : 3 dư 1+2

=> (7ⁿ + 2) chia hết cho 3

=> (7ⁿ + 1) (7ⁿ + 2) chia hết cho 3 (đpcm)

A=a^7 -a =a(a^6 -1) =a(a^3 -1)(a^3+1) =(a-1).a.(a+1)[a^2+a+1)(a^2-a+1) ]

\(A=A_0.A_1\)

\(A_1=\left(a^2+a+1\right)\left(a^2-a+1\right)=\left[\left(a^2-4\right)+\left(a+5\right)\right]\left[\left(a^2-9\right)+\left(-a+10\right)\right]\)

\(A_1=\left[\left(a^2-4\right)\left(a^2-9\right)\right]+\left[\left(a^2-4\right)\left(-a+10\right)+\left(a+5\right)\left(a^2-a+1\right)\right]=A_2+A_3\)

\(A_3=\left(a^2-4\right)\left(-a+10\right)+\left(a+5\right)\left(a^2-a+1\right)=-a^3+10a^2+4a-40+a^3-a^2+a+5a^2-5a+5=14a^2-35\)\(A_3=7\left(2a^2-5\right)\)

\(A=A_0.A_1=A_0\left(A_2+A_3\right)=A_0.A_2+A_0.A_3\)

A3 : chia hết cho 7 hiển nhiên => \(A_0.A_3⋮7\)

\(A_0.A_2=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)\left(a^2-9\right)\)

\(A_0A_2=\left(a-3\right)\left(a-2\right)\left(a-1\right)\left(a\right)\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\)

A0.A2 là tích 7 số nguyên liên tiếp => A0.A2 chia hết cho 7

=>\(A⋮7\) =>dpcm

Ủa cái này là Fermat nhỏ mà.

Cách khác:
Xét \(a\equiv0\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow a^7-a⋮7\)

Xét \(a\equiv1\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow a^7-a\equiv1-1\equiv0\left(mod7\right)\)

Xét \(a\equiv2\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow a^7-a\equiv2.2^6-2\equiv2-2\equiv0\left(mod7\right)\)

......................................................................

\(\Rightarrow a^7-a⋮7\)

theo bài ra ta có 
n = 8a +7=31b +28 
=> (n-7)/8 = a 
b= (n-28)/31 
a - 4b = (-n +679)/248 = (-n +183)/248 + 2 
vì a ,4b nguyên nên a-4b nguyên => (-n +183)/248 nguyên 
=> -n + 183 = 248d => n = 183 - 248d (vì n >0 => d<=0 và d nguyên ) 
=> n = 183 - 248d (với d là số nguyên <=0) 
vì n có 3 chữ số lớn nhất => n<=999 => d>= -3 => d = -3 
=> n = 927

n=927

k nha