Ta có : \(c\left(ac+1\right)^2=\left(2c+b\right)\left(3c+b\right)\Leftrightarrow c\left(a^2c^2+2ac+1\right)=6c^2+5bc+b^2\)

\(\Leftrightarrow c\left(a^2c^2+2ac+1-6c-5b\right)=b^2\)

Gọi \(\left(c;a^2c^2+2ac+1-6c-5b\right)=d\)

Khi đó ta có \(\hept{\begin{cases}c⋮d\\a^2c^2+2ac-6c+1-5b⋮d\end{cases}\Rightarrow1-5b⋮d}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}c=xd\\a^2c^2+2ac-6c+1-5b=yd\end{cases}}\left[x,y\in Z;\left(x;y\right)=1\right]\)

\(\Rightarrow c\left(a^2c^2+2a-6c+1-5b\right)=xyd^2\Rightarrow b^2=xyd^2\)

\(\Rightarrow b⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy c là số chính phương.

\(c\left(ac+1\right)^2=\left(2c+b\right)\left(3c+b\right)\)

\(\Leftrightarrow c\left(a^2c^2+2ac+1\right)=6c^2+2bc+3bc+b^2\)

\(\Leftrightarrow c\left(a^2c^2+2ac+1\right)-6c^2-2bc-3bc=b^2\)

\(\Leftrightarrow c\left(a^2c^2+2ac+1-6c-5b\right)=b^2\) ( 1 )

Dễ thấy \(a^2c^2+2ac-6c⋮c\) ( 2 )

Gọi d là ƯC của c và \(a^2c^2+2ac-6c-5b+1\) , ta có :

\(\orbr{\begin{cases}c⋮d\\a^2c^2+2ac-6c-5b+1⋮d\end{cases}}\Rightarrow c-a^2c^2+2ac-6c-5b+1⋮d\) ( 3 )

Từ ( 2 ) và ( 3 ) => 1 - 5b chia hết cho d

Đặt c = kd ; a²c² + 2ac - 6c - 5b + 1 = td  ( \(k;t\in Z\))

\(\Rightarrow c\left(a^2c^2+2ac+1-6c-5b\right)=kd.td=ktd^2\) ( 4 )

Từ ( 1 ) và ( 4 ) => b² = ktd²

\(\Rightarrow b⋮d\Rightarrow5b⋮d\). Mà 1 - 5b chia hết cho d

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> Đpcm

Sửa lại một tí

Chỗ ( 2 ) chỉnh dấu lại :)

( 3 ) \(c-a^2c^2-2ac+6c+5b-1⋮d\)

Từ ( 2 ) và ( 3 ) => 5b - 1 chia hết cho d

Từ ( 1 ) và ( 4 ) ... => 5b chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d => d = 1

=> Đpcm

giả sử c chẵn khi đó ta có:

\(v_2\left(c\right)=v_2\left(5c+2b\right)+v_2\left(2c+b\right)\)

Nếu b lẻ thì ta có: \(v_2\left(c\right)=v_2\left(5c+2b\right)=v_2\left(5c\right)\Rightarrow v_2\left(5c\right)< v_2\left(2b\right)=1\)

Điều này vô lý!

Do đó c lẻ: Xét p|c là 1 ước nguyên tố của c

Ta có: \(v_p\left(c\right)=v_p\left(5c+2b\right)+v_p\left(2c+b\right)\)

Ta thấy \(v_p\left(c\right)>v_p\left(5c+2b\right);v_p\left(2c+b\right)>0\)

Do đó: \(v_p\left(5c+2b\right)=min\left[v_p\left(c\right);v_p\left(4c+2b\right)\right]\)

\(\Rightarrow v_p\left(5c+2b\right)=v_p\left(4c+2b\right)=v_p\left(2c+b\right)\)

\(\Rightarrow v_p\left(c\right)=2v_p\left(5c+2b\right):\)số chẵn nên => c là số chính phương.(đpcm)

Gỉa sử ab+1=n² (n thuộc N)
Cho c=a+b+2n.Ta có:
* ac+1=a(a+b+2n)+1
          =a²+2na+ab+1=a²+2na+n²=(a+n)²
* bc +1=b(a+b+2n)+1=b²+2nb+ab+1
           =b²+2nb+n²=(b+n)²
Vậy ac+1 và bc+1 đều là số chính phương.

Gỉa sử ab+1=n² (n thuộc N)
Cho c=a+b+2n.Ta có:
* ac+1=a(a+b+2n)+1
          =a²+2na+ab+1=a²+2na+n²=(a+n)²
* bc +1=b(a+b+2n)+1=b²+2nb+ab+1
           =b²+2nb+n²=(b+n)²
Vậy ac+1 và bc+1 đều là số chính phương.

Điều kiện đề bài $\Rightarrow (2c{)}^2=(a+c\left)\right(b+c)$. Gọi $d=gcd(a+c,b+c)$ thì do $a-b=p\in P$ nên $d=1$hoặc $d=p$

Nếu $d=1$ thì $a+c=x^2,b+c=y^2$ ( $xy=2c$)

$\Rightarrow p=(x-y)(x+y)$. $p=2$ thì vô lý. $p$ lẻ thì dễ thấy $x=\frac{p+1}{2}=\frac{a-b+1}{2}$ và $y=\frac{a-b-1}{2}$

$\Rightarrow 2c=xy=\frac{(a-b-1)(a-b+1)}{4}\Rightarrow 8c+1=(a-b{)}^2$ là scp

Nếu $d=p$ thì $a+c=p{m}^2,b+c=p{n}^2$ ( $2c=pmn$)

$\Rightarrow (m-n)(m+n)=1\to m=1,n=0$ (loại)

thtfgfgfghggggggggggggggggggggg