Công dãy lại => hệ số : \(k=2014\)

Cách đơn giảii không hiệu quả, Thế lại=> a,b,c thay vào ra A

+ Nếu a+b+c=0 => a+b=-c; a+c=-b; b+c=-a

A = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a)

A = a+b/b . (b+c/c) . (c+a/a)

A = -c/b . (-a/c) . (-b/a)

A = -1

+ Nếu a+b+c khác 0

Áp dụng t/c của dãy tỉ số = nhau ta có:

2016c-b-a/c = 2016b-a-c/b = 2016a-b-c/a

= (2016c-b-a)+(2016b-a-c)+(2016a-b-c)/a+b+c

= 2015(a+b+c)/a+b+c = 2015

=> 2015c = 2016c-b-a; 2015b=2016b-a-c; 2015a = 2016a-b-c

=> c-b-a=0; b-a-c=0; a-b-c=0

=> c=a+b; b=a+c; a=b+c

A = a+b/b . (b+c/c) . (c+a/a)

A = c/b . a/c . b/a = 1

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{2016c-a-b}{c}=\frac{2016b-a-c}{b}=\frac{2016a-b-c}{a}=\frac{2016c-a-b+2016b-a-c+2016a-b-c}{a+b+c}=\frac{2016\left(a+b+c\right)-2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=\frac{2014\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2014\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{2016c-a-b}{c}=2014\\\frac{2016b-a-c}{b}=2014\\\frac{2016a-b-c}{a}=2014\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}2016c-a-b=2014c\\2016b-a-c=2014b\\2016a-b-c=2014a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}-a-b=2014c-2016c\\-a-c=2014b-2016b\\-b-c=2014a-2016a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}-a-b=-2c\\-a-c=-2b\\-b-c=-2a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a+b=2c\\a+c=2b\\b+c=2a\end{matrix}\right.\) (1)

Ta có \(A=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{a+b}{b}.\frac{c+b}{c}.\frac{a+c}{a}\)

Thế (1) vào biểu thức ta có :

\(A=\frac{a+b}{b}.\frac{c+b}{c}.\frac{a+c}{a}\)

\(\Rightarrow A=\frac{2c}{b}.\frac{2a}{c}.\frac{2b}{a}\)

\(\Rightarrow A=2.2.2=8\)

Vậy biểu thức A=8

Thế tui giúp hổng đc sao

tham khảo bài tương tự này :  

Câu hỏi của so yeoung cheing - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

\(abc=1\Rightarrow\left(abc\right)^2=a^2b^2c^2=1\Rightarrow a^2=\frac{1}{b^2c^2}\Rightarrow\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}=\frac{b^2c^2}{a\left(b+c\right)}=\frac{\left(bc\right)^2}{ab+ac}\)

Chứng minh tương tự ta có:  \(\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}=\frac{\left(ca\right)^2}{bc+ba};\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{\left(ab\right)^2}{ca+cb}\)

=> \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{\left(ab\right)^2}{bc+ca}+\frac{\left(bc\right)^2}{ab+ca}+\frac{\left(ca\right)^2}{ab+bc}\)

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel: \(\frac{\left(ab\right)^2}{bc+ca}+\frac{\left(bc\right)^2}{ab+ca}+\frac{\left(ca\right)^2}{ab+bc}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{bc+ca+ab+ca+ab+bc}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)

Tiếp tục áp dụng bđt Cauchy với 3 số dương ta được: \(\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{ab.bc.ca}}{2}=\frac{3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}{2}=\frac{3\sqrt[3]{1}}{2}=\frac{3}{2}\)

=> \(\frac{\left(ab\right)^2}{bc+ca}+\frac{\left(bc\right)^2}{ab+ca}+\frac{\left(ca\right)^2}{ab+bc}\ge\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

viết lại sigma 1/a³(b+c) = sigma 1/a²/a(b+c) 

đến đây dùng schwarz -> sigma 1/a³(b+c) >/ ab+bc+ac/2 >/ 3/2 (AM-GM cho ab,bc,ca)

Từ ab + bc + ac =1

=> ab + bc + ac + a² = 1 + a²

=> 1 + a² = (a+b)(a+c) (1)

Tương tự: 1 + b² = (a+b)(b+c) (2)

1 + c² = (a+c)(b+c) (3)

Thay (1) (2) (3) vào P

P= a\(\sqrt{\left(b+c\right)^2}\)+ b\(\sqrt{\left(a+c\right)^2}\)+ c\(\sqrt{\left(a+b\right)^2}\)

= a|b+c| + b|a+c| + c|a+b|

= a(b+c) + b(a+c) + c(a+b) (do a,b,c >0)

= ab + ac +ab + bc +ac +bc

= 2(ab + ac + bc)

=2