Ta xét: (a^5 - a) + (b^5 - b) + (c^5 - c)

Ta có: a^5 - a = a(a^4 - 1) = a(a² - 1)(a² + 1) = a(a - 1)(a + 1)(a² + 1) 
= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4 + 5) 
= a(a - 1)(a + 1)[ (a² - 4) + 5) ] 
= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4) + 5a(a - 1)(a + 1) 
= a(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) 
= (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) 

Do (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 2, 3, 5 và 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 5 và 2, 3 hay chia hết cho 2*3*5=30 

=> (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 30. 

=> a^5 - a chia hết cho 30 

=> (a^5 -a) + (b^5 -b) + (c^5 -c) = (a^5+b^5+c^5) -(a+b+c) chia hết cho 30 (*) 

Do (a+b+c) chia hết cho 30 

(*) => (a^5+b^5+c^5) chia hết cho 30

Đó là câu trả lời đúng.hihi :) 

Ta xét (a^5 -a) + (b^5 -b) + (c^5 -c) 

Ta có: a^5 - a = a(a^4 - 1) = a(a² - 1)(a² + 1) = a(a - 1)(a + 1)(a² + 1) 
= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4 + 5) 
= a(a - 1)(a + 1)[ (a² - 4) + 5) ] 
= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4) + 5a(a - 1)(a + 1) 
= a(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) 
= (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) 

Do (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 2, 3, 5 và 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 5 và 2, 3 hay chia hết cho 2*3*5=30 

=> (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 30. 

=> a^5 - a chia hết cho 30 

=> (a^5 -a) + (b^5 -b) + (c^5 -c) = (a^5+b^5+c^5) -(a+b+c) chia hết cho 30 (*) 

Do (a+b+c) chia hết cho 30 

(*) => (a^5+b^5+c^5) chia hết cho 30

Ta có :a^5-a=a(a^4-1)=a(a^2-1)(a^2+1)=a(a-1)(a+1)(a^2-4+5)

=a(a-1)(a+1)(a^-4)+5a(a+1)(a-1)

=(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)+5a(a-1)(a+1)

Vì (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) là tích của 5 số hạng liên tiếp 

=> (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) chia hết cho 5

Lại có (a-2)(a-1) là tích của hai số liên tiếp =>(a-2)(a-1) chia hết cho 2  => (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) chia hết 

Mà (2;5)=1 => (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)+ 5a(a+1)(a-1) chia hết cho 30

Hay a^5-a chia hết cho 30                  (1)

CMTT ta được: b^5-b chia hết cho 30  (2)

                       c^5-c chia hết cho30   (3)

Cộng (1),(2),(3) ta được a^5+b^5+c^5-(a+b+c) chia hết cho 30

Mà (a+b+c) =0

Luôn chia hết cho 30

=>a^5+b^5+c^5 chia hết cho 30

Vậy a^5+b^5+c^5 chia hết cho 30

Áp dụng công thức:  (m – n). ( m+ n) = m² – n² => m² – n² chia hết (m – n)

Ta có : f(x)=ax²- bx + c

=> Tính chất: f (m) – f(n) chia hết ( m – n)

Ta có:

 f(104) – f(9) chia hết 105

=> f(104) – f(9) chia hết 5

=> f(104) chia hết 5

Mặt khác:

f(104) – f(5) chia hết 99

=> f(104) – f(5) chia hết 9

=> f(104) chia hết 9

Vậy f(104) chia hết (5.9) = 45 

Áp dụng công thức:  (m – n). ( m+ n) = m² – n² => m² – n² chia hết (m – n)

Ta có : f(x)=ax²- bx + c

=> Tính chất: f (m) – f(n) chia hết ( m – n)

Ta có:

 f(104) – f(9) chia hết 105

=> f(104) – f(9) chia hết 5

=> f(104) chia hết 5

Mặt khác:

f(104) – f(5) chia hết 99

=> f(104) – f(5) chia hết 9

=> f(104) chia hết 9

Vậy f(104) chia hết (5.9) = 45 

TK: Toán 8 - đa thức, chia hết | Cộng đồng Học sinh Việt Nam - HOCMAI Forum

Lời giải:

Đặt $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n$ với $a_i\in\mathbb{Z}$ khi $i=\overline{0,n}$

$f(a)-f(b)=(a_0+a_1.a+a_2a^2+...+a_na^n)-(a_0+a_1b+a_2b^2+...+a_nb^n)$

$=a_1(a-b)+a_2(a^2-b^2)+...+a_n(a^n-b^n)$

b. Theo kq phần a thì $f(19)-f(5)\vdots (19-5)\vdots 7$

Mà $f(5)\vdots 7$ nên $f(19)\vdots 7$ hay $15\vdots 7$ (vô lý)

Do đó không thể xảy ra đồng thời hệ thức trên.

Vì $a^i-b^i$ với mọi $i=1,2,..,n$ đều chia hết cho $a-b$ theo phân tích trong hằng đẳng thức đáng nhớ

$\Rightarrow f(a)-f(b)\vdots a-b$

b.

Với \(x\)nguyên bất kì, ta có: \(x^5-x=x\left(x^4-1\right)=x\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=x\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)+5x\left(x^2-1\right)\)

\(=x\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)+5x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

Có \(x\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)là tích của \(5\)số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho \(2,3,5\)mà \(\left(2,3,5\right)=1\)nên nó chia hết cho \(2.3.5=30\).

\(x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)là tích của \(3\)số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho \(2,3\)mà \(\left(2,3\right)=1\)nên chia hết cho \(2.3=6\)do đó \(5x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)chia hết cho \(30\).

Vậy \(x^5-x\)chia hết cho \(30\).

Ta có: 

\(a^5+b^5+c^5+d^5-\left(a+b+c+d\right)\)

\(=\left(a^5-a\right)+\left(b^5-b\right)+\left(c^5-c\right)+\left(d^5-d\right)\)chia hết cho \(30\)

nên \(\left(a^5+b^5+c^5+d^5\right)\equiv\left(a+b+c+d\right)\left(mod30\right)\)

mà \(a^5+b^5+c^5+d^5=30\left(c^5+d^5\right)⋮30\)

suy ra \(a+b+c+d\)chia hết cho \(30\).

1. Gọi ƯCLN (a,c) =k, ta có : a=ka₁, c=kc₁ và (a₁,c₁)=1

Thay vào ab=cd được ka₁b=bc₁d nên

a₁b=c₁d  (1)

Ta có: a₁b \(⋮\)c₁ mà (a₁,c₁)=1 nên b\(⋮\)c₁. Đặt b=c₁m ( \(m\in N\)*) , thay vào (1) được a₁c₁m =  c₁d nên a₁m=d

Do đó: \(a^5+b^5+c^5+d^5=k^5a_1^5+c_1^5m^5+k^5c_1^5+a_1^5m^5\)

\(=k^5\left(a_1^5+c_1^5\right)+m^5\left(a_1^5+c_1^5\right)=\left(a_1^5+c_1^5\right)\left(k^5+m^5\right)\)

Do a₁, c₁, k, m là các số nguyên dương nên \(a^5+b^5+c^5+d^5\)là hợp số (đpcm)

2. Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể sư 0 hoặc 1.

Ta có \(a^2+b^2⋮3\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1,1+1, chỉ có 0+0 \(⋮\)3.

Vậy \(a^2+b^2⋮3\)thì a và b \(⋮3\)

b) Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 7 chỉ có thể dư 0,1,2,4 (thật vậy, xét a lần lượt bằng 7k, \(7k\pm1,7k\pm2,7k\pm3\)thì a² chia cho 7 thứ tự dư 0,1,4,2)

Ta có: \(a^2+b^2⋮7\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1, 0+2, 0+4 , 1+1, 1+2, 2+2, 1+4, 2+4, 4+4; chỉ có 0+0 \(⋮7\). Vậy......

3. a) Xét hiệu \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮2.3=6\)( tích của 3 số nguyên liên tiếp)

Tương tự: \(b^3-b⋮6\)và \(c^3-c⋮6\)

\(\Rightarrow\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)⋮6\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮6\Leftrightarrow a+b+c⋮6\)

b) Ta có: \(30=2.3.5\)và 2,3,5 đôi một nguyên tố cùng nhau.

Theo định lý Fermat: \(a^2\equiv a\left(mod2\right)\Rightarrow a^4\equiv a^2\equiv a\left(mod2\right)\Rightarrow a^5\equiv a^2\equiv a\left(mod2\right)\)

\(a^3\equiv a\left(mod3\right)\Rightarrow a^5\equiv a^3\equiv a\left(mod3\right)\)

\(a^5\equiv a\left(mod5\right)\)

Theo tính chất của phép đồng dư, ta có:

\(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod2\right)\)

\(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod3\right)\)

\(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod5\right)\)

Do đó: \(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod2.3.5\right)\). Tức là nếu a+b+c chia hết cho 30 thì ....(đpcm)

Ta có: (a^5-a)= a(a^4-1)

= a(a^2-1)(a^2+1) 

= a(a-1)(a+1)(a^2+1) 

= a(a-1)(a+1)(a^2-4+5) 

= a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) + 5a(a-1)(a+1) 

Do a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) là tích 5 số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 2,3,5 => chia hết cho 2.3.5=30 

5a(a-1)(a+1) chia hết cho 2,3,5 => chia hết cho 2.3.5=30 

=> a^5-a chia hết cho 30  

=> (a^5-a)+(b^5-b)+(c^5-c) chia hết cho 30 

Mà a+b+c chia hết cho 30 

=> a^5+b^5+c^5 chia hết cho 30