tớ chỉ làm phần 1 thôi

1.  ta có (x+5)y-x=10

=>(x+5)y-x-5=10-5

=>(x+5)y-(x+5)=5

=>(x+5)(y-1)=5

lập bảng xét giá trị của x,y \(\in Z\)

Bạn tự làm tiếp nhé -_-

a) => 2xy +3x=y+1

=> 2xy+3x-y=1

=> x(2y+3) -  1/2 (2y+3) +3/2 =1

=> (x-1/2)(2y+3)=1-3/2= -1/2

=> (2x-1)(2y+3)=-1

ta có bảng

...........

- Với \(y=0\Rightarrow x^2+x=3^0+1=2\)

\(\Rightarrow x^2+x-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)

- Với \(y< 0\Rightarrow3^{2019y}\) không phải số nguyên \(\Rightarrow3^{2019y}+1\) không phải số nguyên (loại)

- Với \(y>0\Rightarrow3^{2019y}⋮3\Rightarrow3^{2019y}+1\) chia 3 dư 1

Mà \(x^2+x=x\left(x+1\right)\) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 2

\(\Rightarrow x^2+x\ne3^{2019y}+1\) với mọi \(y>0\) \(\Rightarrow\) phương trình ko có nghiệm nguyên

Vậy pt đã cho có đúng 2 cặp nghiệm nguyên là \(\left(x;y\right)=\left(-2;0\right);\left(1;0\right)\)

@ Ha Dung vì khi y < 0 thì y = -k (k  N)

⇒ 3^2019y = 3^-2019k = ( N)

 ()^2019k  không phải là số nguyên vậy 3^2019y không phải là số nguyên em nhé.

\(x\cdot\left(y-1\right)+y=2\\ xy-x+y=2\\ y\cdot\left(x+1\right)-x-1=2-1\\ y\cdot\left(x+1\right)-\left(x+1\right)=1\\ \left(x+1\right)\left(y-1\right)=1\)

mà `x;y in ZZ => x+1;y-1 in ZZ`

nên `x+1;y-1` thuộc ước nguyên của `1`

`=>x+1;y-1 in {1;-1}`

`=>x in {0;-2}; y in {2;0}`

\(x.\left(y-1\right)+y=2\)

\(x.\left(y-1\right)+\left(y-1\right)=2-1\)

\(\left(y-1\right)\left(x-1\right)=1\)

(y-1) ; (x-1) có 2 cặp: \(y-1=1;x-1=1\)  hoặc \(y-1=-1;x-1=-1\)

\(x;y\) có  2 cặp: \(y=2;x=2\) hoặc \(y=0;x=0\)

Ta có:\(x\left(x+1\right)=y^2+1\Leftrightarrow x^2+x=y^2+1\Leftrightarrow4x^2+4x+1=4y^2+5\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2-4y^2=5\Leftrightarrow\left(2x+2y+1\right).\left(2x-2y+1\right)=5\)

Do x,y thuộc Z nên  2x+2y+1 và 2x-2y+1 là ước của 5

Ta có bảng giá trị :

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(1;-1\right);\left(1;1\right);\left(-2;1\right);\left(-2;-1\right)\right\}\)

Giả sử (x;y) là cặp số nguyên dương cần tìm. Khi đó ta có: 
(xy-1) I (x^3+x) => (xy-1) I x.(x^2+1) (1) 
Do (x; xy-1) =1 ( Thật vậy: gọi (x;xy-1) =d => d I x => d I xy => d I 1). 
Nên từ (1) ta có: 
(xy-1) I (x^2+1) 
=> (xy-1) I (x^2+1+xy -1) => (xy-1) I (x^2+xy) => (xy-1) I x.(x+y) => (xy-1) I (x+y) 
Điều đó có nghĩa là tồn tại z ∈ N* sao cho: 
x+y = z(xy-1) <=> x+y+z =xyz (2) 

[Đây lại có vẻ là 1 bài toán khác] 
Do vai trò bình đẳng nên ta giả sử: x ≥ y ≥ z. 
Từ (2) ta có: x+y+z ≤ 3x => 3x ≥ xyz => 3 ≥ yz ≥ z^2 => z=1 
=> 3 ≥ y => y ∈ {1;2;3} 
Nếu y=1: x+2 =x (loại) 
Nếu y=2: (2) trở thành x+3 =2x => x=3 
Nếu y=3: x+4 = 3x => x=2 (loại vì ta có x≥y) 
Vậy khi x ≥ y ≥ z thì (2) có 1 nghiệm (x;y;z) là (3;2;1) 
Hoán vị vòng quanh được 6 nghiệm là: .....[bạn tự viết nhé] 

Vậy bài toán đã cho có 6 nghiệm (x;y) là : .... [viết y chang nhưng bỏ z đi]

 Giả sử (x;y) là cặp số nguyên dương cần tìm. Khi đó ta có: 
(xy-1) I (x^3+x) => (xy-1) I x.(x^2+1) (1) 
Do (x; xy-1) =1 ( Thật vậy: gọi (x;xy-1) =d => d I x => d I xy => d I 1).
Nên từ (1) ta có: 
(xy-1) I (x^2+1) 
=> (xy-1) I (x^2+1+xy -1) => (xy-1) I (x^2+xy) => (xy-1) I x.(x+y) => (xy-1) I (x+y) 
Điều đó có nghĩa là tồn tại z ∈ N* sao cho: 
x+y = z(xy-1) <=> x+y+z =xyz (2) 

[Đây lại có vẻ là 1 bài toán khác] 
Do vai trò bình đẳng nên ta giả sử: x ≥ y ≥ z. 
Từ (2) ta có: x+y+z ≤ 3x => 3x ≥ xyz => 3 ≥ yz ≥ z^2 => z=1 
=> 3 ≥ y => y ∈ {1;2;3} 
Nếu y=1: x+2 =x (loại) 
Nếu y=2: (2) trở thành x+3 =2x => x=3 
Nếu y=3: x+4 = 3x => x=2 (loại vì ta có x≥y) 
Vậy khi x ≥ y ≥ z thì (2) có 1 nghiệm (x;y;z) là (3;2;1) 
Hoán vị vòng quanh được 6 nghiệm là: .....[bạn tự viết nhé] 

Vậy bài toán đã cho có 6 nghiệm (x;y) là : .... [viết y chang nhưng bỏ z đi]

Xét x= 1 => \(\dfrac{2}{y-1}\in\mathbb N\), từ đó có \(y=2\vee y=3\)

Xét y=1 => \(\dfrac{x^3+x}{x-1}=x^2+x+2+\dfrac{2}{x-1}\in\mathbb N\), từ đó có \(x=2\vee x=3\)

Xét \(x\ge 2\) hoặc \(y\ge 2\) . Ta có : \((x,xy-1)=1\). Do đó :

\(xy-1|x^3+x\Rightarrow xy-1|x^2+1\Rightarrow xy-1|x+y\)

=> \(x+y\ge xy-1\Rightarrow (x-1)(y-1)\le 2\). Từ đó có \((x-1)(y-1)=1\ \vee (x-1)(y-1)=2\) 

=> x = y = 2 ( loại ) hoặc x = 2 ; y = 3 hoặc x = 3 ; y= 2

Vậy các cặp số ( x;y ) thỏa mãn là (1;2),(2;1),(1;3),(3;1),(2;3),(3;2)

Lời giải:

PT $\Leftrightarrow x^3+x+1-y(x^2-3)=0$

$\Leftrightarrow y=\frac{x^3+x+1}{x^2-3}$ (hiển nhiên $x^2-3\neq 0$ với mọi $x$ nguyên) 

Để $y$ nguyên thì $\frac{x^3+x+1}{x^2-3}$ nguyên 

$\Leftrightarrow x^3+x+1\vdots x^2-3$
$\Rightarrow x(x^2-3)+4x+1\vdots x^2-3$
$\Rightarrow 4x+1\vdots x^2-3$

Hiển nhiên $4x+1\neq 0$ nên $|4x+1|\geq x^2-3$
Nếu $x\geq \frac{-1}{4}$ thì $4x+1\geq x^2-3$
$\Leftrightarrow x^2-4x-4\leq 0$

$\Leftrightarrow (x-2)^2\leq 8<9$

$\Rightarrow -3< x-2< 3$

$\Rightarrow -1< x< 5$

$\Rightarrow x\in \left\{0; 1; 2; 3; 4\right\}$.

Nếu $x< \frac{-1}{4}$ thì $-4x-1\geq x^2-3$

$\Leftrightarrow x^2+4x-2\leq 0$

$\Leftrightarrow (x+2)^2-6\leq 0$

$\Leftrightarrow (x+2)^2\leq 6< 9$

$\Rightarrow -3< x+2< 3$
$\Rightarrow -5< x< 1$

$\Rightarrow x\in\left\{-4; -3; -2; -1\right\}$

Đến đây bạn thay vào tìm $y$ thôi

 x ( 2y+ 3)=x+1

=> x(2y+3)-x=1

\(\Rightarrow x\left[\left(2y+3\right)-1\right]\)=1

suy ra 2 TH :

TH1:

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\\left(2y+3\right)-1=1\end{cases}}\)

TH2:

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\\left(2y+3\right)-1=-1\end{cases}}\)

đoạn còn lại dễ nên em tự làm nốt nhé

Ta có : 

x(2y+3) = x + 1 

=>x(2y+3) - x =1

=>x(2y+3-1) = 1

=> x(2y-2) = 1 

=> x,2y-2 thuộc ước của 1

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\2y-2=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1,5\end{cases}}}\)

nhầm nha bạn lộn dấu rồi